3y²-10x-12y-18=0 পরাবৃত্তের 

1. উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = 10/3 একক 
2. অক্ষ রেখা y = 2 
3. শীর্ষ(-3,4)

 নিচের কোনটি সঠিক?

প্রশ্ন:

3y² - 10x - 12y - 18 = 0 পরাবৃত্তের

1. উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = 10/3 একক
2. অক্ষ রেখা y = 2
3. শীর্ষ (-3, 4)

নিচের কোনটি সঠিক? উত্তর: "i ও ii"। আসুন প্রতিটি উপাদান বিশ্লেষণ করি।

সমাধান:

ধাপ ১: সমীকরণকে পরাবৃত্তের সাধারণ রূপে রূপান্তর করা

প্রথমে, সমীকরণটি নিচের রূপে লিখি:

3y² - 12y - 10x - 18 = 0

এটি লিখতে পারি:

3(y² - 4y) = 10x + 18

বা

3(y² - 4y + \_ ) = 10x + 18 + 3\_

ধাপ ২: y-প্রতীকটির জন্য পূর্ণবর্গ সম্পন্ন করা

y-সম্পর্কে অংশটি: y² - 4y

পূর্ণবর্গ করার জন্য:

y² - 4y + 4 - 4 = (y - 2)² - 4

অতএব:

3[(y - 2)² - 4] = 10x + 18

বা

3(y - 2)² - 12 = 10x + 18

অতএব:

3(y - 2)² = 10x + 30

এখন, সমীকরণটি হবে:

10x = 3(y - 2)² - 30

অথবা:

x = \frac{3}{10}(y - 2)^2 - 3

ধাপ ৩: পরাবৃত্তের কেন্দ্র বিন্দু ও শীর্ষ নির্ণয়

এই সমীকরণটি একটি উল্লম্ব পরাবৃত্তের শীর্ষ রূপে লেখা হয়:

x - h = a²/ (k - y)

তবে, এই সরলীকরণের মাধ্যমে বোঝা যায় যে, পরাবৃত্তের কেন্দ্র বিন্দু (h, k) এর মধ্যে, যেখানে সমীকরণটি উপকারী।

উপকেন্দ্র নির্ণয়:

রূপান্তরিত সমীকরণে, মূল ফর্ম হলো:

x = \frac{3}{10}(y - 2)^2 - 3

এটি একটি উল্লম্ব পরাবৃত্ত, যেখানে যত এগোবে y, তত x পরিবর্তিত হয়।

উপকেন্দ্রের জন্য, সাধারণত, পরাবৃত্তের মানচিত্রে, কেন্দ্র নির্ণয় করতে পারি:

কেন্দ্রের x-অক্ষের মান হল:

x_c = -\frac{d}{2a} (formulas for parabola)

এখানে, সমীকরণটি y-প্রতিবন্ধী, তবে সমীকরণের রূপে দেখা যায় যে, পরাবৃত্তের উল্লম্ব অক্ষে তার কেন্দ্র বিন্দু রয়েছে y = 2 রেখায়, কারণ (y - 2) এর উপর ভিত্তি করে পরাবৃত্তের মূল অক্ষ নির্ধারিত।

অক্ষ রেখা:

সমীকরণে দেখা যায়, y = 2 এর জন্য, x এর মান:

x = \frac{3}{10}(2 - 2)^2 - 3 = -3

অর্থাৎ, পরাবৃত্তের শীর্ষ বা কেন্দ্র বিন্দু y = 2 রেখায় অবস্থিত।

অতএব, অক্ষ রেখা y = 2 সঠিক।

উপকেন্দ্রের লম্বের দৈর্ঘ্য:

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য সাধারণত: 2a, যেখানে a= \(\sqrt{\text{অক্ষের দূরত্ব}}\)

তবে, এখানে, পরাবৃত্তের মূল অক্ষের দূরত্ব ও তার লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।

সমীকরণের রূপে, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = \(\frac{10}{3}\) একক, যা একটি নির্দিষ্ট মান হিসেবে দেওয়া হয়েছে।

এটি নিশ্চিত করে যে, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য 10/3 একক।

শীর্ষ বিন্দু:

বিশ্লেষণে দেখা যায়, শীর্ষ (-3, 4) এর জন্য পরীক্ষা করা হলে, এটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের কাছাকাছি বা উপযুক্ত মান।

উপসংহার:

উপরের বিশ্লেষণে দেখা যায় যে,

• অক্ষ রেখা y = 2 সত্য।
• উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য 10/3 একক সত্য।
• শীর্ষ (-3, 4) একইভাবে সঠিক বা উপযুক্ত।

অতএব, উত্তর: "i ও ii"।