Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণঃ
\[
y^2 - 4y - 4x + 16 = 0
\]
প্রথমে, সমীকরণটিকে পরাবৃত্তের প্রকার ও উপকেন্দ্র নির্ণয়ের জন্য প্রস্তুত করি।
এখন, সমীকরণটি \(x\) এর বিষয়ে সাজাই:
\[
-4x = - y^2 + 4y - 16
\]
অথবা,
\[
x = \frac{y^2 - 4y + 16}{4}
\]
এখন, এই সমীকরণটি একটি পরাবৃত্তের বিভাজ্য রূপে রূপান্তর করি।
প্রথম, কৌনিক পূর্ণরূপে আনুন:
\[
x = \frac{1}{4}(y^2 - 4y + 16)
\]
\(y^2 - 4y + 16\) এর জন্য পূর্ণরূপ:
\[
y^2 - 4y + 16 = (y^2 - 4y + 4) + 12 = (y - 2)^2 + 12
\]
অতএব,
\[
x = \frac{1}{4}[(y - 2)^2 + 12] = \frac{(y - 2)^2}{4} + 3
\]
এখন, এই রূপে দেখানো যায় যে, সমীকরণটি একটি পরাবৃত্তের কেন্দ্রবিন্দুর রূপে:
\[
(x - 3) = \frac{1}{4}(y - 2)^2
\]
এটি একটি ওপেন পরাবৃত্তের সমীকরণ যা \(x\)-অক্ষে উত্থিত।
পরাবৃত্তের সাধারণ রূপ:
\[
(y - k)^2 = 4p(x - h)
\]
এখানে,
\[
k = 2,\quad h = 3,\quad 4p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{4}
\]
অর্থাৎ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে:
\[
(h + p, k) = \left(3 + \frac{1}{4}, 2\right) = \left(\frac{13}{4}, 2\right)
\]
তবে, আমাদের বিবেচনায়, এই পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রটি মূল কেন্দ্র থেকে \(p\) দূরত্বে অবস্থিত।
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক:
\[
\boxed{\left(\frac{13}{4}, 2\right)} \quad \text{অথবা} \quad (3.25, 2)
\]
তবে প্রশ্নে উত্তর হিসেবে দেওয়া হয়েছে \( (4, 2) \), যা মূল সমীকরণের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়।
সুতরাং, সঠিক উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হল:
\[
\boxed{(3.25, 2)}
\]
যদি শুধুমাত্র চিহ্নিত উত্তর হিসেবে দেওয়া হয়, তবে তা হতে পারে এই কারণেই।
