Another Explanation (5): প্রথমে, দেওয়া শর্তগুলো পুনরায় উল্লেখ করি:
1. \(x, y\) এককের অবাস্তব মূল।
2. \(x = y^2\)
3. \(1 + x + y = 0\)
4. \(xy = 1\)
আমরা এই শর্তগুলো থেকে সমাধান করব এবং যাচাই করব কোনগুলো সত্য।
---
প্রথম শর্ত: \(x = y^2\)
দ্বিতীয় শর্ত: \(1 + x + y = 0 \Rightarrow x = -1 - y\)
তৃতীয় শর্ত: \(xy = 1\)
এখন, প্রথম ও দ্বিতীয় শর্ত থেকে সম্পর্ক স্থাপন করি:
\[
x = y^2 \quad \text{এবং} \quad x = -1 - y
\]
অতএব,
\[
y^2 = -1 - y
\]
এখন, এই বহুপদী সমীকরণটি সাজাই:
\[
y^2 + y + 1 = 0
\]
এই সমীকরণের সমাধান করি:
\[
\text{Discriminant } D = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3
\]
যেহেতু \(D < 0\), সমাধানগুলো অবাস্তব।
সমাধান:
\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2}
\]
অর্থাৎ,
\[
y = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2} \quad \text{অথবা} \quad y = \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2}
\]
এখন, \(x = y^2\) থেকে \(x\) গণনা করি।
---
**প্রথম সেট:**
\[
y = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}
\]
\[
x = y^2 = \left(\frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}\right)^2
\]
গুণফল:
\[
x = \frac{(-1)^2 + 2 \times (-1) \times i \sqrt{3} + (i \sqrt{3})^2}{4}
\]
\[
x = \frac{1 - 2 i \sqrt{3} + (i)^2 \times 3}{4}
\]
\[
x = \frac{1 - 2 i \sqrt{3} - 3}{4} \quad (\text{কারণ } i^2 = -1)
\]
\[
x = \frac{-2 - 2 i \sqrt{3}}{4} = \frac{-2}{4} + \frac{-2 i \sqrt{3}}{4} = -\frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}
\]
---
**দ্বিতীয় সেট:**
\[
y = \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2}
\]
\[
x = y^2 = \left(\frac{-1 - i \sqrt{3}}{2}\right)^2
\]
গুণফল:
\[
x = \frac{1 + 2 i \sqrt{3} + (i \sqrt{3})^2}{4}
\]
\[
x = \frac{1 + 2 i \sqrt{3} - 3}{4} \quad (\text{কারণ } i^2 = -1)
\]
\[
x = \frac{-2 + 2 i \sqrt{3}}{4} = -\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}
\]
---
**এখন, যাচাই করি \(xy\) সমীকরণ:**
প্রথম সেটের জন্য:
\[
x = -\frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}
\]
\[
y = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}
\]
\[
xy = \left(-\frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}\right) \times \left(\frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}\right)
\]
নিচে গুণফল:
\[
xy = \frac{1}{4} \times \left(-1 - i \sqrt{3}\right) \times \left(-1 + i \sqrt{3}\right)
\]
প্রথম, দুটি বাইনারি গুণফল:
\[
\left(-1 - i \sqrt{3}\right) \times \left(-1 + i \sqrt{3}\right) = (-1)^2 - (i \sqrt{3})^2 = 1 - (-1 \times 3) = 1 + 3 = 4
\]
অতএব,
\[
xy = \frac{1}{4} \times 4 = 1
\]
এটি সমীকরণের মান পূরণ করে।
---
**তদ্ব্যতীত, দ্বিতীয় সেটের জন্য:**
\[
x = -\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}
\]
\[
y = \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2}
\]
গুণফল:
\[
xy = \frac{1}{4} \times \left(-1 + i \sqrt{3}\right) \times \left(-1 - i \sqrt{3}\right)
\]
আবার,
\[
\left(-1 + i \sqrt{3}\right) \times \left(-1 - i \sqrt{3}\right) = (-1)^2 - (i \sqrt{3})^2 = 1 - (-1 \times 3) = 1 + 3 = 4
\]
অতএব,
\[
xy = \frac{1}{4} \times 4 = 1
\]
যা আবার সত্য।
---
**সারসংক্ষেপ:**
- \(x, y\) অবাস্তব মূল, কারণ তাদের মান \( \frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2} \)।
- \(x = y^2\) সত্য।
- \(1 + x + y = 0\) সত্য, কারণ উপরের সমাধানে দেখা যায়।
- \(xy = 1\) সত্য।
অতএব, **উত্তর** হলো: **"i, ii ও iii"**।
---
**HTML with LaTeX:**
```html
প্রশ্ন: x, y এককের অবাস্তব মূল হলে —
- x = y2
- 1 + x + y = 0
- xy = 1
নিচের কোনটি সঠিক? উত্তর: "i, ii ও iii"
সমাধান:
প্রথম, সমীকরণগুলো উল্লেখ করি:
- From (ii):
\(x = -1 - y\)
- And from (i):
\(x = y^2\)
অতএব,
\( y^2 = -1 - y \)
এটি সমাধান করি:
\( y^2 + y + 1 = 0 \)
Discriminant:
\( D = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = -3 \)
কারণ \(D < 0\), সমাধানগুলো অবাস্তব।
সমাধান:
\( y = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2} \)
অর্থাৎ, দুইটি সমাধান:
- \( y_1 = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2} \)
- \( y_2 = \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \)
প্রথম সেটের জন্য:
\( x = y^2 \)
যেখানে,
- \( y_1 = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2} \)
- \( x_1 = y_1^2 = \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \)
দ্বিতীয় সেটের জন্য:
- \( y_2 = \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \)
- \( x_2 = y_2^2 = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2} \)
এখন, যাচাই করি \( xy \):
- প্রথম সেটের জন্য:
\( xy = x_1 y_1 = \left(\frac{-1 - i \sqrt{3}}{2}\right) \times \left(\frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}\right) \)
গুণফল:
\( xy = \frac{1}{4} \times \left((-1)(-1) + (-1)(i \sqrt{3}) + (-i \sqrt{3})(-1) + (-i \sqrt{3})(i \sqrt{3})\right) \)
\( xy = \frac{1}{4} \times \left(1 - i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - (i)^2 \times 3\right) \)
কারণ, \( i^2 = -1 \),
\( xy = \frac{1}{4} \times \left(1 + 0 + 3\right) = \frac{4}{4} = 1 \)
অতএব, \( xy = 1 \) সত্য।
এবং, একইভাবে দ্বিতীয় সেটের জন্যও এটি সত্য প্রমাণিত হয়।
সুতরাং, উপরের সব শর্ত পূরণ করে, এই সমাধানগুলো সত্য।
অতএব, উত্তরে উল্লেখ করা হয়েছে: "i, ii ও iii".
```
