x² = 4(1 - y) পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্র কোনটি?

প্রশ্নের সমাধান:

আমরা বলি, সমীকরণটি হলো:

\[ x^2 = 4(1 - y) \]

এটি একটি পরাবৃত্তির সমীকরণ, যা সাধারণত \[ (x - h)^2 = 4a(y - k) \] আকারে প্রকাশ পায়।

ধাপ ১: সমীকরণকে পরাবৃত্তির সাধারণ আকারে তুলনা করা

আমাদের সমীকরণটি হলো:

\[ x^2 = 4(1 - y) \]

এখানে, এটি লেখা যায়:

\[ x^2 = -4 y + 4 \]

অথবা,

\[ x^2 = -4 y + 4 \]

এখানে, \[ y \] এর জন্য সমীকরণ:

\[ y = 1 - \frac{x^2}{4} \]

ধাপ ২: পরাবৃত্তির শীর্ষবিন্দু নির্ণয়

পরাবৃত্তির মানচিত্রে, এটি একটি উল্টোপরাবৃত্তি (উপরের দিকে মুখ করে)। এর শীর্ষবিন্দু খুঁজতে, আমরা জানি যে এটি মূল পরাবৃত্তির vertex বা শীর্ষস্থানে থাকে।

সমীকরণটি লেখো:

\[ (x - 0)^2 = 4 \cdot (-1) \cdot (y - 1) \]

অর্থাৎ, এটি লেখায় পাওয়া যায়:

\[ x^2 = -4(y - 1) \]

এটি মূল পরাবৃত্তির আকার।

অতএব, শীর্ষবিন্দু যেখানে \[ x = 0 \], সেখানে \[ y \] এর মান হবে:

\[ x = 0 \Rightarrow 0 = -4(y - 1) \Rightarrow y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1 \]

অর্থাৎ, শীর্ষবিন্দু হলো \[ (0, 1) \]।

ধাপ ৩: উপকেন্দ্র নির্ণয়

উপকেন্দ্র বা ফোকাসের জন্য, পরাবৃত্তির মানচিত্রে, উপকেন্দ্রের স্থান নির্ণয় করা হয়।

উপরের সমীকরণে, এটি একটি উল্টোপরাবৃত্তি যার ফোকাসের জন্য, মূল সমীকরণ অনুযায়ী, যেখানে \[ y = k + a \]।

সাধারণত, একে আকারে লেখা হয়:

\[ (x - h)^2 = 4a(y - k) \]

আমাদের ক্ষেত্রে, \[ h = 0, \quad k = 1 \], এবং

\[ x^2 = -4(y - 1) \] বা \[ x^2 = 4 \cdot (-1) \cdot (y - 1) \]

এখানে, \[ 4a = -4 \Rightarrow a = -1 \]।

উপকেন্দ্রের অবস্থান হলো:

\[ (h, k + a) = (0, 1 - 1) = (0, 0) \]

উত্তর:

শীর্ষবিন্দু হলো \[ (0, 1) \]

উপকেন্দ্র হলো \[ (0, 0) \]

অতএব, উত্তরটি হলো: (0, 1) ও (0, 0)