a₁x²+b₁x+c₁ = 0 এবং a₂x²+b₂x+c₂ = 0 সমীকরণের উভয় মূলই সাধারণ হলে-

Another Explanation (5): প্রথম সমীকরণ: \[ a_1 x^2 + b_1 x + c_1 = 0 \] দ্বিতীয় সমীকরণ: \[ a_2 x^2 + b_2 x + c_2 = 0 \] ধরি, উভয় সমীকরণের মূলই সাধারণ। অর্থাৎ, উভয় সমীকরণের মূল একই। যদি মূলগুলো সাধারণ হয়, তাহলে উভয় সমীকরণের মূলের জন্য সমাধানগুলো সমান হবে। উভয় সমীকরণের মূলগুলো হলো: \[ x = \frac{-b_1 \pm \sqrt{b_1^2 - 4 a_1 c_1}}{2 a_1} \] এবং \[ x = \frac{-b_2 \pm \sqrt{b_2^2 - 4 a_2 c_2}}{2 a_2} \] যেহেতু মূলগুলো সাধারণ, তাই এই দুটি সমীকরণের মূলগুলো অবশ্যই সমান। এর মানে: \[ \frac{-b_1 + \sqrt{b_1^2 - 4 a_1 c_1}}{2 a_1} = \frac{-b_2 + \sqrt{b_2^2 - 4 a_2 c_2}}{2 a_2} \] এবং \[ \frac{-b_1 - \sqrt{b_1^2 - 4 a_1 c_1}}{2 a_1} = \frac{-b_2 - \sqrt{b_2^2 - 4 a_2 c_2}}{2 a_2} \] উপরের দুটি সমীকরণ থেকে, যদি মূলগুলো সাধারণ হয়, তবে নিম্নলিখিত শর্তটি প্রযোজ্য হবে: \[ \frac{b_1}{b_2} = \frac{a_1}{a_2} = \frac{c_1}{c_2} \] কারণ, সমান মূলের জন্য অপ্রকাশ্য সমীকরণগুলো থেকে এই অনুপাতগুলো সমান হতে হবে। অতএব, এই ফলাফলটি লেখা যায়: \[ \boxed{\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}} \] এই শর্তটি নিশ্চিত করে যে, উভয় সমীকরণের মূলগুলো সাধারণ।