r=8cosθ+6 sinθ কনিক দ্বারা x অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য কত একক?

\(r = 8\cos\theta + 6\sin\theta\) কনিকটি দ্বারা x অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:

আমরা জানি, \(x = r\cos\theta\) এবং \(y = r\sin\theta\)। প্রদত্ত সমীকরণটিকে \(r\) দিয়ে গুণ করে পাই, \(r^2 = 8r\cos\theta + 6r\sin\theta\)

সুতরাং, \(x^2 + y^2 = 8x + 6y\) (\(\because r^2 = x^2 + y^2\))

\(\implies x^2 - 8x + y^2 - 6y = 0\)

\(\implies (x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 6y + 9) = 16 + 9\)

\(\implies (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 5^2\)

এটি \((4, 3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং \(5\) ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত ⭕।

বৃত্তটি x অক্ষকে যে বিন্দুগুলোতে ছেদ করে, সেখানে \(y = 0\) হবে। সুতরাং, \((x - 4)^2 + (0 - 3)^2 = 25\)

\(\implies (x - 4)^2 + 9 = 25\)

\(\implies (x - 4)^2 = 16\)

\(\implies x - 4 = \pm 4\)

সুতরাং, \(x = 4 + 4 = 8\) অথবা \(x = 4 - 4 = 0\)।

x অক্ষের ছেদ বিন্দুগুলো হলো \((0, 0)\) এবং \((8, 0)\)।

অতএব, x অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য \( = 8 - 0 = 8\) একক। 📏