When a rubber-band is stretched by a distance x, it exerts a restoring force of magnitude F = ax + bx² Where a and b are constants. The work done in stretching the upstretched rubber band by L is:

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্নের সমাধান:

একটি স্থিতিস্থাপক রবার ব্যান্ডের দৈর্ঘ্য \(x\) পরিমাণ বৃদ্ধি করলে, এটি \(F = ax + bx^2\) মানের একটি পুনরুদ্ধারকারী বল প্রয়োগ করে। রবার ব্যান্ডটিকে L দৈর্ঘ্য পর্যন্ত প্রসারিত করতে কৃতকার্য নির্ণয় করতে হবে।

কৃতকার্য \(W\) নির্ণয়ের জন্য, বল \(F\) কে দূরত্বের সাপেক্ষে ইন্টিগ্রেট করতে হবে:

\[W = \int_{0}^{L} F dx = \int_{0}^{L} (ax + bx^2) dx\]

ইন্টিগ্রেশন করলে পাই,

\[W = \left[\frac{ax^2}{2} + \frac{bx^3}{3}\right]_0^L\]

সীমা বসিয়ে পাই,

\[W = \frac{aL^2}{2} + \frac{bL^3}{3} - \left(\frac{a(0)^2}{2} + \frac{b(0)^3}{3}\right)\] \[W = \frac{aL^2}{2} + \frac{bL^3}{3}\]

সুতরাং, রবার ব্যান্ডটিকে L দৈর্ঘ্য পর্যন্ত প্রসারিত করতে কৃতকার্য হলো: \( \frac{aL^2}{2} + \frac{bL^3}{3} \)। 🎉

```