\( x = a \cos \theta + b \sin \theta \), \( y = a \sin \theta - b \cos \theta \) কোন কণিকের সমীকরণ?

Another Explanation (5): প্রথমে, আমাদের দেওয়া সমীকরণগুলো হলো: \[ x = a \cos \theta + b \sin \theta \] \[ y = a \sin \theta - b \cos \theta \] আমরা এই সমীকরণগুলো থেকে \(x\) এবং \(y\) এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করব। **ধাপ 1:** \(x\) ও \(y\) এর স্কোয়ার নিন: \[ x^2 = (a \cos \theta + b \sin \theta)^2 \] \[ y^2 = (a \sin \theta - b \cos \theta)^2 \] **ধাপ 2:** বিস্তার করি: \[ x^2 = a^2 \cos^2 \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta + b^2 \sin^2 \theta \] \[ y^2 = a^2 \sin^2 \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta + b^2 \cos^2 \theta \] **ধাপ 3:** এখন, যোগ করি: \[ x^2 + y^2 = \left( a^2 \cos^2 \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta + b^2 \sin^2 \theta \right) + \left( a^2 \sin^2 \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta + b^2 \cos^2 \theta \right) \] \[ x^2 + y^2 = a^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + b^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) \] \[ x^2 + y^2 = a^2 (1) + b^2 (1) = a^2 + b^2 \] এখানে, আমরা জানি যে \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)। **অর্থাৎ:** \[ x^2 + y^2 = a^2 + b^2 \] এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ, যার কেন্দ্রীয় বিন্দু (0,0) এবং ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\)। **অতএব,** এই কণিকার সমীকরণ হলো: \[ \boxed{ x^2 + y^2 = a^2 + b^2 } \] যা একটি বৃত্তের সমীকরণ।