কোন শর্তে \( x^{2}+px+1=0 \) এর মূলদ্বয়ের অনুপাত এবং \( x^{2}+qx+4=0 \) এর মূলদ্বয়ের অনুপাতের সমান হবে?

Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: দুটি বর্গমূল সমীকরণের মূ???দ্বয়ের অনুপাত সমান হবে এমন শর্ত জানতে চাওয়া হয়েছে। অপশন বিশ্লেষণ: A. \( p = \pm 2q \): ভুল, এটি সঠিক নয়। B. \( p = \pm 4q \): ভুল, এটি সঠিক নয়। C. \( p = \pm \sqrt{2}q \): ভুল, এটি সঠিক নয়। D. \( q = \pm 4p \): ভুল, এটি সঠিক নয়। E. \( q = \pm 2p \): সঠিক, এটি সঠিক উত্তর। নোট: প্রশ্নে উল্লিখিত শর্তটি মূলদ্বয়ের অনুপাত সম্পর্কিত একটি সমীকরণ।

Another Explanation (5): ```html

ধরি, \( x^{2}+px+1=0 \) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(k\alpha\)।

তাহলে, মূলদ্বয়ের যোগফল \(\alpha + k\alpha = -p \) এবং মূলদ্বয়ের গুণফল \(\alpha \cdot k\alpha = 1 \)।

সুতরাং, \( k\alpha^{2} = 1 \Rightarrow \alpha^{2} = \frac{1}{k} \Rightarrow \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{k}} \)।

এখন, \(\alpha + k\alpha = -p \Rightarrow \alpha(1+k) = -p \Rightarrow \pm \frac{1}{\sqrt{k}}(1+k) = -p \).

অতএব, \( p^{2} = \frac{(1+k)^{2}}{k} \)......(1)

আবার, ধরি \( x^{2}+qx+4=0 \) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\beta\) ও \(k\beta\)।

তাহলে, মূলদ্বয়ের যোগফল \(\beta + k\beta = -q \) এবং মূলদ্বয়ের গুণফল \(\beta \cdot k\beta = 4 \)।

সুতরাং, \( k\beta^{2} = 4 \Rightarrow \beta^{2} = \frac{4}{k} \Rightarrow \beta = \pm \frac{2}{\sqrt{k}} \).

এখন, \(\beta + k\beta = -q \Rightarrow \beta(1+k) = -q \Rightarrow \pm \frac{2}{\sqrt{k}}(1+k) = -q \).

অতএব, \( q^{2} = \frac{4(1+k)^{2}}{k} \).......(2)

এখন, (2) নং সমীকরণকে (1) নং সমীকরণ দিয়ে ভাগ করে পাই,

\(\frac{q^{2}}{p^{2}} = \frac{\frac{4(1+k)^{2}}{k}}{\frac{(1+k)^{2}}{k}} = 4 \).

সুতরাং, \( q^{2} = 4p^{2} \Rightarrow q = \pm 2p \). 🎉

```