একটি টানা তারে আড় তরঙ্গের বেগ 1500 m/s। টান একই থাকলে তিনগুণ বড় ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একই উপাদানে তৈরী তারে তরঙ্গের বেগ কত m/s?

Explanation: \(\text{Solve: } \mu_1 = \rho \pi r_1^2 h; \, \mu_2 = \rho \pi r_2^2 h\) \(\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\pi \rho r_2^2 h}{\pi \rho r_1^2 h} = \frac{r_2^2}{r_1^2}\) \(\text{যেহেতু } r_2 = 3r_1, \, \frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{(3r_1)^2}{r_1^2} = \frac{9r_1^2}{r_1^2}\) \(\mu_2 = 9\mu_1 \implies \frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{1}{9}\) \(\text{আবার, } v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}\) \(\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{\mu_1}{\mu_2}} \, \text{[যেহেতু } T \text{ স্থির]}\) \(\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{1}{9}} \implies v_2 = \frac{1}{3}v_1 \implies v_2 = \frac{1}{3} \times 1500 = 500 \, \text{ms}^{-1}\) \(\text{Ans. (B)}\)

Another Explanation (5): আড় তরঙ্গের বেগ \(v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}\), যেখানে \(T\) হলো টান এবং \(\mu\) হলো তারের রৈখিক ভর ঘনত্ব। রৈখিক ভর ঘনত্ব \(\mu = \frac{m}{L} = \frac{\rho V}{L} = \frac{\rho \pi r^2 L}{L} = \rho \pi r^2\), যেখানে \(\rho\) হলো উপাদানের ঘনত্ব এবং \(r\) হলো ব্যাসার্ধ। সুতরাং, \(v = \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}}\) যেহেতু টান \(T\) এবং উপাদানের ঘনত্ব \(\rho\) একই আছে, তাই \(v \propto \frac{1}{r}\) অতএব, \(\frac{v_2}{v_1} = \frac{r_1}{r_2}\) দেওয়া আছে, \(v_1 = 1500\) m/s এবং \(r_2 = 3r_1\) সুতরাং, \(v_2 = v_1 \frac{r_1}{r_2} = 1500 \times \frac{r_1}{3r_1} = \frac{1500}{3} = 500\) m/s 😮 কিন্তু দেওয়া উত্তরটি 850 m/s 🤔। সম্ভবত প্রশ্নকর্তার হিসাবে ভুল আছে। আমার গণনা অনুসারে উত্তর 500 m/s হওয়া উচিত। 😐 যদি প্রশ্নটিতে ব্যাসার্ধ তিনগুণ না হয়ে ক্ষেত্রফল তিনগুণ বলা থাকত তবে: ক্ষেত্রফল \(A = \pi r^2\). যদি ক্ষেত্রফল তিনগুণ হয়, \(A_2 = 3A_1\), তাহলে \(\pi r_2^2 = 3 \pi r_1^2\) বা, \(r_2 = \sqrt{3} r_1\) তখন বেগ হত, \(v_2 = v_1 \frac{r_1}{r_2} = 1500 \times \frac{r_1}{\sqrt{3}r_1} = \frac{1500}{\sqrt{3}} = 500\sqrt{3} \approx 866\) m/s 🤩 এক্ষেত্রে উত্তরের কাছাকাছি মান পাওয়া যায়।