r = 3cosθ + 4sinθ  বৃত্তটির- 

1. কেন্দ্র (3/2, 2)
2. ব্যাসার্ধ = 5/2
3. খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য = 2√2

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান:

প্রদত্ত রেডিয়াস সমীকরণ: \[ r = 3 \cos \theta + 4 \sin \theta \] প্রথমে, এই সমীকরণটিকে সাধারণ বৃত্তের রূপে রূপান্তর করি: \[ r = a \cos \theta + b \sin \theta \] এখানে, \( a = 3 \) এবং \( b = 4 \)। ### 1. কেন্দ্র নির্ণয়: বৃত্তের কেন্দ্রের জন্য, সমীকরণটি নিম্নরূপ রূপান্তর করি: \[ r = R \cos (\theta - \alpha) \] যেখানে, \[ R = \sqrt{a^2 + b^2} \] এবং, \[ \tan \alpha = \frac{b}{a} \] অতএব, \[ R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] \[ \tan \alpha = \frac{4}{3} \] তাই, \[ \alpha = \arctan \left( \frac{4}{3} \right) \] এখন, সমীকরণটি রূপান্তর করি: \[ r = R \cos (\theta - \alpha) \] অর্থাৎ, \[ r = 5 \cos (\theta - \alpha) \] বৃত্তের কেন্দ্রের জন্য, Cartesian সমীকরণে রূপান্তর করি: \[ x = r \cos \theta \] \[ y = r \sin \theta \] তাহলে, \[ r = 5 \cos (\theta - \alpha) \] \[ r = 5 (\cos \theta \cos \alpha + \sin \theta \sin \alpha) \] এবং, \[ r \cos \theta = x \] \[ r \sin \theta = y \] তাহলে, \[ x = 5 (\cos \alpha) \] \[ y = 5 (\sin \alpha) \] অতএব, কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক: \[ \left( x_0, y_0 \right) = 5 (\cos \alpha, \sin \alpha) \] প্রতিটি মান: \[ \cos \alpha = \frac{a}{R} = \frac{3}{5} \] \[ \sin \alpha = \frac{b}{R} = \frac{4}{5} \] সুতরাং, \[ x_0 = 5 \times \frac{3}{5} = 3 \] \[ y_0 = 5 \times \frac{4}{5} = 4 \] কিন্তু, এই স্থানাঙ্কটি সমীকরণের মূল রূপে ব্যবহৃত হয়। তবে, সাধারণত, এই সমীকরণের কেন্দ্রের সরাসরি রূপ পাওয়া যায়: \[ r = a \cos \theta + b \sin \theta \] এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ: \[ r = R \cos (\theta - \alpha) \] অথচ, সরাসরি Cartesian রূপে, \[ x^2 + y^2 - 2x \times \frac{3}{2} - 2 y = 0 \] উপরে, রূপান্তর করে দেখা যায়: সাধারণত, \[ r = a \cos \theta + b \sin \theta \] এটি সমান হয়: \[ r = R \cos (\theta - \alpha) \] এবং, Cartesian রূপে: \[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \] যেখানে, \[ x_0 = R \cos \alpha, \quad y_0 = R \sin \alpha \] অতএব, কেন্দ্র: \[ (x_0, y_0) = \left( \frac{a}{1}, \frac{b}{1} \right) \] তবে, এই বিষয়ে আরও সঠিক বিশ্লেষণে, সমীকরণের রূপান্তর দ্বারা দেখা যায়: বৃত্তের সমীকরণ: \[ r = 3 \cos \theta + 4 \sin \theta \] এটি রূপান্তর করলে: \[ r = R \cos (\theta - \alpha) \] যেখানে, \[ R = 5 \] \[ \cos \alpha = \frac{3}{5} \] \[ \sin \alpha = \frac{4}{5} \] তাই, Cartesian সমীকরণে: \[ x = r \cos \theta \] \[ y = r \sin \theta \] এবং, \[ r = 3 \cos \theta + 4 \sin \theta \] অর্থাৎ, \[ r = 5 \left( \frac{3}{5} \cos \theta + \frac{4}{5} \sin \theta \right) \] \[ r = 5 \left( \cos \alpha \cos \theta + \sin \alpha \sin \theta \right) \] \[ r = 5 \cos (\theta - \alpha) \] এখন, \[ x = r \cos \theta = 5 \cos (\theta - \alpha) \cos \theta \] \[ y = r \sin \theta = 5 \cos (\theta - \alpha) \sin \theta \] পরিবর্তে, Cartesian সমীকরণে রূপান্তর করতে: \[ r^2 = x^2 + y^2 \] \[ r \cos \theta = x \] \[ r \sin \theta = y \] সুতরাং, \[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \] \[ \cos \theta = \frac{x}{r} \] \[ \sin \theta = \frac{y}{r} \] সমীকরণ: \[ r = 3 \cos \theta + 4 \sin \theta \] এতে, \[ r = 3 \frac{x}{r} + 4 \frac{y}{r} \] \[ r^2 = 3x + 4y \] \[ x^2 + y^2 = 3x + 4y \] অতএব, এই সমীকরণের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক: \[ x^2 - 3x + y^2 - 4y = 0 \] সম্পূর্ণ করে: \[ (x^2 - 3x + \frac{9}{4}) + (y^2 - 4y + 4) = \frac{9}{4} + 4 \] \[ (x - \frac{3}{2})^2 + (y - 2)^2 = \frac{9}{4} + \frac{16}{4} = \frac{25}{4} \] অতএব, কেন্দ্র: \[ \left( \frac{3}{2}, 2 \right) \] বৃত্তের ব্যাসার্ধ: \[ \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} \] ### ২. খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য: খণ্ডিত অংশের আর্চের দৈর্ঘ্য: \[ L = r \theta \] যেখানে, \(\theta\) হলো সেই কোণ যা থেকে খণ্ডিত অংশটি হয়। এখানে, সমীকরণ \( r = 3 \cos \theta + 4 \sin \theta \) এর জন্য, সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করি: \[ r_{\max} = R = 5 \] \[ r_{\min} = -R = -5 \] সাধারণত, এই ধরনের সমীকরণের জন্য, খণ্ডিত অংশের কোণীয় দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হয়। কিন্তু, প্রশ্নে উল্লেখ করা হয়েছে, খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য \( 2 \sqrt{2} \)। প্রতিটি আর্চের দৈর্ঘ্য: \[ L = R \times \Delta \theta \] এখানে, খণ্ডিত অংশের কোণ: \[ \theta \] এর জন্য নির্দিষ্ট মানে, এই সমীকরণের আর্চের দৈর্ঘ্য: \[ L = 2 \sqrt{2} \] ### **উপসংহার:** প্রদত্ত তিনটি দিকের মধ্যে: - **i. কেন্দ্র (3/2, 2)** ✓ (সঠিক) - **ii. ব্যাসার্ধ = 5/2** ✓ (সঠিক) - **iii. খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য = 2√2** ✓ (সঠিক) অতএব, **উত্তর: "i ও ii"**। **উত্তর:** ```html

উত্তর: "i ও ii"

```