x = root(3)(1)  সমীকরণের মূল তিনটির যোগফল কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(x = \sqrt[3]{1}\) সমীকরণের মূল তিনটির যোগফল কত? সমাধান: প্রথমে সমীকরণটি লিখি: \[ x = \sqrt[3]{1} \] এটি বোঝাচ্ছে যে, \[ x^3 = 1 \] এই সমীকরণের মূলগুলি খুঁজে বের করতে হলে, আমরা মূল সমীকরণটি বিবেচনা করব: \[ x^3 - 1 = 0 \] এটি একটি মানদণ্ড বিভাজ্য সমীকরণ, যা আমরা ফলন করে লিখতে পারি: \[ (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 \] অতএব, মূলগুলি হল: 1. \( x = 1 \) 2. \( x^2 + x + 1 = 0 \) এখন, দ্বিতীয় সমীকরণের মূলগুলি খুঁজে বের করি: \[ x^2 + x + 1 = 0 \] ডেল্টা মূল্য নির্ণয় করি: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3 \] কারণ ডেল্টা ঋণাত্মক, এই সমীকরণের মূলগুলি জটিল সংখ্যা হবে। মূলগুলি হলো: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \] অর্থাৎ, এই দুটি মূল হলো: \[ x = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \quad \text{এবং} \quad x = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} \] সুতরাং, সমাধানের মূলগুলি হল: \[ x_1 = 1 \] \[ x_2 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \] \[ x_3 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} \] মূলগুলির যোগফল: \[ x_1 + x_2 + x_3 = 1 + \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} + \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} \] সমানভাবে সমাধান করি: \[ = 1 + \left( \frac{-1 + i\sqrt{3} - 1 - i\sqrt{3}}{2} \right) \] \[ = 1 + \left( \frac{-1 - 1 + i\sqrt{3} - i\sqrt{3}}{2} \right) \] \[ = 1 + \left( \frac{-2 + 0}{2} \right) \] \[ = 1 + (-1) = 0 \] অতএব, মূল তিনটির যোগফল হলো: \[ \boxed{0} \]