আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্যের বিস্তারের অনুপাত 1 : √2 হলে চিরের প্রস্থের অনুপাত কত ?

আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্যের বিস্তারের অনুপাত \(1 : \sqrt{2}\) হলে, চিরের প্রস্থের অনুপাত নির্ণয়:

আমরা জানি, অপবর্তন (Diffraction) এর ক্ষেত্রে:

\(a \sin \theta = n \lambda\),

যেখানে,

\(a\) = চিরের প্রস্থ

\(\theta\) = অপবর্তন কোণ

\(n\) = অপবর্তন ক্রম (Order of diffraction)

\(\lambda\) = আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য

প্রথম চরম (first minima) এর জন্য, \(n = 1\)

\(\therefore a \sin \theta = \lambda\)

ক্ষুদ্র কোণের জন্য, \(\sin \theta \approx \theta\)

\(\therefore a \theta \approx \lambda\)

\(\therefore \theta \approx \frac{\lambda}{a}\)

বিস্তার, \(w \propto \theta\)

\(\therefore w \propto \frac{\lambda}{a}\)

ধরি, দুটি আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য \(\lambda_1\) ও \(\lambda_2\) এবং চিরের প্রস্থ \(a_1\) ও \(a_2\)

দেওয়া আছে, \(\frac{w_1}{w_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

আমরা পাই,

\(\frac{w_1}{w_2} = \frac{\lambda_1/a_1}{\lambda_2/a_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \cdot \frac{a_2}{a_1}\)

যদি \(\lambda_1 = \lambda_2\) হয়, তবে

\(\frac{w_1}{w_2} = \frac{a_2}{a_1}\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a_2}{a_1}\)

\(\therefore \frac{a_1}{a_2} = \sqrt{2}\)

যদি তরঙ্গদৈর্ঘ্য ভিন্ন হয়, এবং \(\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) হয়, তবে,

\(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{a_2}{a_1}\)

\(\therefore \frac{a_2}{a_1} = 1\)

\(\therefore \frac{a_1}{a_2} = 1\)

🤔 এক্ষেত্রে, প্রশ্নটি সম্ভবত অসম্পূর্ণ। 🤔 এখানে ধরে নেয়া হয়েছে তরঙ্গদৈর্ঘ্যের অনুপাত \(\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = 1\) । যদি তরঙ্গদৈর্ঘ্যের অনুপাত \(\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) হয়, সেক্ষেত্রে চিরের প্রস্থের অনুপাত \(1:1\) হবে।

যদি বিস্তার একই থাকে, তাহলে \(\lambda\) ও \(a\) ব্যস্তানুপাতিক।

\(\frac{\lambda_1}{a_1} = \frac{\lambda_2}{a_2}\)

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}\)

সুতরাং, \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

অতএব, চিরের প্রস্থের অনুপাত হবে \(1 : \sqrt{2}\)। কিন্তু প্রদত্ত উত্তর \(1:2\)।

⚠ যদি বিস্তারের বর্গের অনুপাত \(1:2\) হয়, তবে:

\(\frac{w_1^2}{w_2^2} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{(\frac{\lambda_1}{a_1})^2}{(\frac{\lambda_2}{a_2})^2} = \frac{1}{2}\)

যদি \(\lambda_1 = \lambda_2\) হয়,

\(\frac{a_2^2}{a_1^2} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{2}\)

এটিও \(1:2\) নয়।

💡 প্রদত্ত উত্তর \(1:2\) তখনই সম্ভব, যদি \(\frac{w_1}{w_2} = \frac{1}{2}\) এবং \(\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = 1\) হয়। সেক্ষেত্রে, \(\frac{a_1}{a_2} = 2\), অর্থাৎ \(2:1\)।

সুতরাং, প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী \(1:2\) উত্তরটি সঠিক নয়।