x2 + y2 - 6x + 4y + c = 0 বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করে।
c এর মান কত?
প্রশ্নে দেওয়া বৃত্তের সমীকরণ:
\[ x^2 + y^2 - 6x + 4y + c = 0 \]
আমরা জানি, বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করে, অর্থাৎ y-অক্ষের সাথে এর একক স্পর্শ বিন্দু আছে।
y-অক্ষের সমীকরণ:
\[ x = 0 \]
বৃত্তের সমীকরণে x = 0 বসিয়ে দিয়ে, বৃত্তের কেন্দ্রের y-অক্ষের সাথে দূরত্ব নির্ণয় করব।
প্রথমে বৃত্তের সাধারণ আকারে সম্পূর্ণ করে লেখা যাক:
\[ x^2 - 6x + y^2 + 4y + c = 0 \]
সম্পূর্ণ করে:
\[ (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) + c - 9 - 4 = 0 \]
\[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + c - 13 = 0 \]
অতএব, বৃত্তের কেন্দ্র:
\[ (h, k) = (3, -2) \]
বৃত্তের রেডিয়াস:
\[ r = \sqrt{(x - 3)^2 + (y + 2)^2} \]
যেহেতু y-অক্ষ (x=0) এর সাথে বৃত্তটি স্পর্শ করছে, তাই দূরত্ব কেন্দ্র থেকে y-অক্ষের সমীকরণের দূরত্বটি রেডিয়াসের সমান হবে।
দূরত্ব:
\[ \text{Distance} = |x_{\text{center}} - 0| = |3 - 0| = 3 \]
এবং, স্পর্শের জন্য, রেডিয়াস = দূরত্ব:
\[ r = 3 \]
অতএব, রেডিয়াসের মানের জন্য সমীকরণটি লিখি:
\[ r^2 = (x - 3)^2 + (y + 2)^2 \]
প্রথমে, সম্পূর্ণ করে রেডিয়াসের মান নির্ণয় করি:
\[ r^2 = (3)^2 = 9 \]
???্রশ্নে দেওয়া বৃত্তের সমীকরণের জন্য:
\[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = r^2 \]
আমাদের মূল সমীকরণে এটি সেট করতে হলে, মূল সমীকরণে বসানো যাবে:
\[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + c - 13 = 0 \]
এখানে, \( r^2 = 9 \), তাই:
\[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 9 \]
অতএব, সমীকরণে তুলনা করে, আমাদের পেতে হবে:
\[ c - 13 = -9 \]
অর্থাৎ:
\[ c = 13 - 9 = 4 \]
উত্তর:
\( c = 4 \)