y = √x, y = 0, y = x-2 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
ক্ষেত্রফল নির্ণয়: \(y = \sqrt{x}\), \(y = 0\), \(y = x - 2\)
১. ছেদ বিন্দু নির্ণয়:
প্রথমে, \(y = \sqrt{x}\) এবং \(y = x - 2\) এর ছেদ বিন্দুগুলো বের করি।
\(\sqrt{x} = x - 2\)
উভয় দিকে বর্গ করে পাই,
\(x = (x - 2)^2\)
\(x = x^2 - 4x + 4\)
\(x^2 - 5x + 4 = 0\)
\((x - 4)(x - 1) = 0\)
সুতরাং, \(x = 4\) অথবা \(x = 1\)
যখন \(x = 4\), \(y = \sqrt{4} = 2\). সুতরাং ছেদ বিন্দুটি \((4, 2)\).
যখন \(x = 1\), \(y = \sqrt{1} = 1\). কিন্তু \(y = x - 2 = 1 - 2 = -1\), যা গ্রহণযোগ্য নয়।
অতএব, \(y = \sqrt{x}\) এবং \(y = x - 2\) এর ছেদ বিন্দু \((4, 2)\).
এখন, \(y = \sqrt{x}\) এবং \(y = 0\) এর ছেদ বিন্দু বের করি।
\(\sqrt{x} = 0\)
\(x = 0\). সুতরাং ছেদ বিন্দুটি \((0, 0)\).
এবং, \(y = x - 2\) এবং \(y = 0\) এর ছেদ বিন্দু বের করি।
\(x - 2 = 0\)
\(x = 2\). সুতরাং ছেদ বিন্দুটি \((2, 0)\).
২. ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য, আমরা \(x\) অক্ষের সাপেক্ষে ইন্টিগ্রেশন করব।
ক্ষেত্রফল, \(A = \int_{0}^{4} |f(x) - g(x)| dx\), যেখানে \(f(x)\) এবং \(g(x)\) হলো দুটি ফাংশন।
এখানে, \(A = \int_{0}^{2} \sqrt{x} dx + \int_{2}^{4} (\sqrt{x} - (x - 2)) dx\)
\(A = \int_{0}^{2} x^{\frac{1}{2}} dx + \int_{2}^{4} (x^{\frac{1}{2}} - x + 2) dx\)
\(A = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{2} + [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}x^2 + 2x]_{2}^{4}\)
\(A = \frac{2}{3}(2^{\frac{3}{2}} - 0) + (\frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{2}(4)^2 + 2(4)) - (\frac{2}{3}(2^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{2}(2)^2 + 2(2))\)
\(A = \frac{2}{3}(2\sqrt{2}) + (\frac{2}{3}(8) - 8 + 8) - (\frac{2}{3}(2\sqrt{2}) - 2 + 4)\)
\(A = \frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{16}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3} + 2 - 4\)
\(A = \frac{16}{3} - 2\)
\(A = \frac{16 - 6}{3}\)
\(A = \frac{10}{3}\) বর্গ একক। 🥳
সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \( \frac{10}{3} \) বর্গ একক। 🎉
```