পরাবৃত্ত y^2 = 4x এবং সরলরেখা y = x দ্বারা বেষ্টিত এলাকার ক্ষেত্রফল বর্গ এককে

পরাবৃত্ত \(y^2 = 4x\) এবং সরলরেখা \(y = x\) দ্বারা বেষ্টিত এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয়

১. ছেদ বিন্দু নির্ণয়:

পরাবৃত্ত \(y^2 = 4x\) এবং সরলরেখা \(y = x\) এর ছেদ বিন্দুগুলো বের করতে হবে।
\(y = x\) সমীকরণটি \(y^2 = 4x\) সমীকরণে বসালে পাই,
\(x^2 = 4x\)
\(x^2 - 4x = 0\)
\(x(x - 4) = 0\)
সুতরাং, \(x = 0\) অথবা \(x = 4\)
যখন \(x = 0\), তখন \(y = 0\)। আবার যখন \(x = 4\), তখন \(y = 4\)।
সুতরাং ছেদ বিন্দুগুলো হলো \( (0, 0) \) এবং \( (4, 4) \)। 🥳

২. ক্ষেত্???ফল নির্ণয়:

ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য ইন্টিগ্রেশন করতে হবে। 🤔
ক্ষেত্রফল, \(A = \int_{0}^{4} (\sqrt{4x} - x) \, dx\)
\(A = \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - x) \, dx\)
\(A = \left[ 2 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}\)
\(A = \left[ \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}\)
\(A = \left( \frac{4}{3} (4)^{\frac{3}{2}} - \frac{(4)^2}{2} \right) - \left( \frac{4}{3} (0)^{\frac{3}{2}} - \frac{(0)^2}{2} \right)\)
\(A = \left( \frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{16}{2} \right) - 0\)
\(A = \frac{32}{3} - 8\)
\(A = \frac{32 - 24}{3}\)
\(A = \frac{8}{3}\) বর্গ একক। 🎉

অতএব, পরাবৃত্ত \(y^2 = 4x\) এবং সরলরেখা \(y = x\) দ্বারা বেষ্টিত এলাকার ক্ষেত্রফল \(\frac{8}{3}\) বর্গ একক। 🎈