y² = 4x পরাবৃত্ত এবং y = 2x – 4 রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ এলাকার ক্ষেত্রফল কত?

পরাবৃত্ত ও সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ: \(y^2 = 4x\) এবং সরলরেখার সমীকরণ: \(y = 2x - 4\).

ধাপ ১: প্রথমে, পরাবৃত্ত ও সরলরেখার ছেদ বিন্দুগুলো নির্ণয় করি।

সরলরেখার সমীকরণ থেকে \(x\) এর মান পাই: \(x = \frac{y+4}{2}\)

এই মান পরাবৃত্তের সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\(y^2 = 4 \left( \frac{y+4}{2} \right)\)

\(y^2 = 2(y+4)\)

\(y^2 = 2y + 8\)

\(y^2 - 2y - 8 = 0\)

\((y-4)(y+2) = 0\)

সুতরাং, \(y = 4\) অথবা \(y = -2\)

ধাপ ২: \(y\) এর মানগুলো ব্যবহার করে \(x\) এর মান নির্ণয় করি।

যখন \(y = 4\), \(x = \frac{4+4}{2} = 4\). সুতরাং, ছেদ বিন্দুটি \((4, 4)\).

যখন \(y = -2\), \(x = \frac{-2+4}{2} = 1\). সুতরাং, ছেদ বিন্দুটি \((1, -2)\).

ধাপ ৩: ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার জন্য ইন্টিগ্রেশন করি।

ক্ষেত্রফল, \(A = \int_{y_1}^{y_2} (x_{\text{সরলরেখা}} - x_{\text{পরাবৃত্ত}}) \, dy\)

এখানে, \(y_1 = -2\) এবং \(y_2 = 4\).

সরলরেখা থেকে, \(x = \frac{y+4}{2}\) এবং পরাবৃত্ত থেকে, \(x = \frac{y^2}{4}\).

অতএব,

\(A = \int_{-2}^{4} \left( \frac{y+4}{2} - \frac{y^2}{4} \right) \, dy\)

\(A = \int_{-2}^{4} \left( \frac{1}{2}y + 2 - \frac{1}{4}y^2 \right) \, dy\)

\(A = \left[ \frac{1}{4}y^2 + 2y - \frac{1}{12}y^3 \right]_{-2}^{4}\)

\(A = \left( \frac{1}{4}(4)^2 + 2(4) - \frac{1}{12}(4)^3 \right) - \left( \frac{1}{4}(-2)^2 + 2(-2) - \frac{1}{12}(-2)^3 \right)\)

\(A = \left( 4 + 8 - \frac{64}{12} \right) - \left( 1 - 4 + \frac{8}{12} \right)\)

\(A = \left( 12 - \frac{16}{3} \right) - \left( -3 + \frac{2}{3} \right)\)

\(A = 12 - \frac{16}{3} + 3 - \frac{2}{3}\)

\(A = 15 - \frac{18}{3}\)

\(A = 15 - 6\)

\(A = 9\)

সুতরাং, পরাবৃত্ত এবং সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল \(9\) বর্গ একক। 🎉