The area of the region bounded by x=0, y=8 and y=x² is:

প্রশ্ন:

The area of the region bounded by x=0, y=8 and y=x² is:

উত্তর: 12

ব্যাখ্যা:

প্রথমে, আমাদের ছেদ বিন্দুগুলো খুঁজে বের করতে হবে।

y = x² এবং y = 8 এর ছেদ বিন্দু বের করার জন্য, আমরা লিখতে পারি:

\(x^2 = 8\)

\(x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}\)

যেহেতু x = 0 একটি সীমা, তাই আমরা শুধু \(x = 2\sqrt{2}\) নিয়ে কাজ করব। 😥

এখন, আমাদের ইন্টিগ্রাল বের করতে হবে:

\(\int_{0}^{2\sqrt{2}} (8 - x^2) dx\)

ইন্টিগ্রালটি সমাধান করা যাক: 😊

\(\int_{0}^{2\sqrt{2}} (8 - x^2) dx = \left[8x - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2\sqrt{2}}\)

\(= \left(8(2\sqrt{2}) - \frac{(2\sqrt{2})^3}{3}\right) - \left(8(0) - \frac{0^3}{3}\right)\)

\(= 16\sqrt{2} - \frac{16\sqrt{2}}{3}\)

\(= \frac{48\sqrt{2} - 16\sqrt{2}}{3}\)

\(= \frac{32\sqrt{2}}{3}\)

সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(\frac{32\sqrt{2}}{3}\) বর্গ একক।🤔

কিন্তু উত্তরের সাথে মিলছে না! 🧐

আবার একটু চেষ্টা করি। যেহেতু x=0 এবং y=8 দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল বের করতে হবে, তাই ইন্টিগ্রেশন টা y অক্ষের সাপেক্ষে করলে সহজ হবে।

x² = y হলে, x = √y হবে।

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\(\int_{0}^{8} \sqrt{y} dy\)

\(= \left[\frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{8}\)

\(= \frac{2}{3}(8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(0^{\frac{3}{2}})\)

\(= \frac{2}{3}(8\sqrt{8})\)

\(= \frac{2}{3}(8 \cdot 2\sqrt{2})\)

\(= \frac{32\sqrt{2}}{3}\)

তাহলে ক্ষেত্রফল \(\frac{32\sqrt{2}}{3}\) । 😅

যদি উত্তর 12 হয়, তবে প্রশ্ন অথবা উত্তরে ভুল আছে। 🤔