y² = x এবং y = x² বক্ররেখাদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ এলাকার ক্ষেত্রফল-

প্রশ্ন: \(y^2 = x\) এবং \(y = x^2\) বক্ররেখাদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রথমে, বক্ররেখা দুটির ছেদ বিন্দুগুলো নির্ণয় করি।

\(y^2 = x\) এবং \(y = x^2\) এই সমীকরণ দুটি সমাধান করে ছেদ বিন্দু পাওয়া যাবে।

\(y = x^2\) সমীকরণ থেকে \(x = \sqrt{y}\) (যেহেতু আমরা প্রথম চতুর্ভাগে কাজ করছি)

অতএব, \(y^2 = \sqrt{y}\)

\(\Rightarrow y^4 = y\)

\(\Rightarrow y^4 - y = 0\)

\(\Rightarrow y(y^3 - 1) = 0\)

\(\Rightarrow y = 0\) অথবা \(y = 1\)

যখন \(y = 0\), \(x = 0\) এবং যখন \(y = 1\), \(x = 1\)।

সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলো \((0, 0)\) এবং \((1, 1)\)। 🎉

এখন, আবদ্ধ এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।

ক্ষেত্রফল, \(A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) dx\)

\(= \int_{0}^{1} (x^{\frac{1}{2}} - x^2) dx\)

\(= [\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1}\)

\(= [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{1}\)

\(= (\frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3}(1)^3) - (\frac{2}{3}(0)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3}(0)^3)\)

\(= \frac{2}{3} - \frac{1}{3}\)

\(= \frac{1}{3}\) বর্গ একক। 🥳

অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{3}\) বর্গ একক।

উত্তর: 1/3 sq.units