y²=x এবং x=1 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল            বর্গ একক।

ক্ষেত্রফল নির্ণয় 📐

y²=x এবং x=1 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।

সমাধান:

প্রথমে, y²=x থেকে y এর মান বের করি।

\(y = \pm \sqrt{x}\)

যেহেতু x=1, তাই ইন্টিগ্রেশন এর সীমা 0 থেকে 1 হবে। ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য, আমরা \( \sqrt{x} \) এর ইন্টিগ্রেশন করব এবং তাকে 2 দিয়ে গুণ করব (যেহেতু +ve এবং -ve উভয় দিকে ক্ষেত্রফল আছে)।

ক্ষেত্রফল, A = \( 2 \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx \)

এখন, ইন্টিগ্রেশন করি:

\( \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx = \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \, dx \)

\(= \left[ \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} \right]_{0}^{1} \)

\(= \left[ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1} \)

\(= \frac{2}{3} \left[ x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1} \)

\(= \frac{2}{3} \left[ 1^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}} \right] \)

\(= \frac{2}{3} [1 - 0] = \frac{2}{3} \)

সুতরাং, A = \( 2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \)

অতএব, y²=x এবং x=1 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \( \frac{4}{3} \) বর্গ একক। 🎉