y=x এবং y=x² দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল(বর্গ এককে) ?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে, আমাদের দেওয়া রেখাগুলি হলো: \[ y = x \quad \text{এবং} \quad y = x^2 \] এবং আমরা খুঁজছি এই দুই রেখার দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল।

ধাপ ১: সীমা নির্ণয়

দুটি রেখার মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি যেখানে তারা একে অপরের সাথে ছোঁবে: \[ x = x^2 \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{বা} \quad x = 1 \] অর্থাৎ, সীমা হলো \(x\) এর মান ০ থেকে ১ পর্যন্ত।

ধাপ ২: ক্ষেত্রফল নির্ণয়

ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য, আমরা এই সীমার মধ্যে দুই রেখার মধ্যে ইন্টিগ্রাল করি: \[ A = \int_{0}^{1} [y_{\text{upper}} - y_{\text{lower}}] \, dx \] এখানে, রেখাগুলির মধ্যে উচ্চতর হলো \(y = x\) এবং নিম্নতর হলো \(y = x^2\)। সুতরাং, \[ A = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx \]

ধাপ ৩: ইন্টিগ্রাল সমাধান

\[ A = \int_{0}^{1} x \, dx - \int_{0}^{1} x^2 \, dx \] প্রতিটি ইন্টিগ্রাল সমাধান করি: \[ \int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \] \[ \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \] অতএব, \[ A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \]

উত্তর:

ক্ষেত্রফল = \(\boxed{\frac{1}{6}}\) বর্গ একক।