\( y = x^2 \), \( x = 3 \) এবং \( x = 5 \) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( y = x^2 \), \( x = 3 \) এবং \( x = 5 \) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত? সমাধান: প্রথমে, ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে, যা দুই উল্লম্ব রেখার মধ্যে \( x \)-অক্ষের উপর সীমাবদ্ধ। অর্থাৎ, \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \int_{x=3}^{x=5} y\, dx = \int_{3}^{5} x^2\, dx \] এখন, ইন্টিগ্রালটি সমাধান করি: \[ \int x^2\, dx = \frac{x^3}{3} \] অতএব, \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_3^5 = \frac{5^3}{3} - \frac{3^3}{3} \] গণনা: \[ = \frac{125}{3} - \frac{27}{3} = \frac{125 - 27}{3} = \frac{98}{3} \] এখন, ভগ্নাংশটি ভগ্নাংশের রূপে লিখি: \[ \frac{98}{3} = 32 \frac{2}{3} \] কিন্তু প্রশ্নে উত্তরটি "98 \, \frac{3}{4}" দেওয়া হয়েছে। তাই, আসুন আবার লক্ষ্য করি। হয়তো কিছু ভুল হয়েছে। মূলত, প্রশ্নের উত্তরটি যদি "98 \, \frac{3}{4}" হয়, তাহলে এর মান: \[ 98 \frac{3}{4} = 98 + \frac{3}{4} = \frac{392}{4} + \frac{3}{4} = \frac{395}{4} \] আমাদের গণনায় যদি এই মান আসে, তাহলে সেটি সম্ভব নয় কারণ মূল ইন্টিগ্রালটির মান: \[ \frac{98}{3} \approx 32.666\ldots \] অর্থাৎ, যদি উত্তরটি "98 \, \frac{3}{4}" হয়, তাহলে সেটি ভগ্নাংশে: \[ = 98 + \frac{3}{4} = \frac{392}{4} + \frac{3}{4} = \frac{395}{4} \] এবং এটি মূল মানের থেকে অনেক বেশি। সুতরাং, সম্ভবত প্রশ্নের উত্তরে কিছু ভুল বা বিভ্রান্তি রয়েছে। তবে, গণনাটি সঠিকভাবে সম্পন্ন করে: **অবশেষে, ক্ষেত্রফল = \(\frac{98}{3}\) বা প্রায় 32.666...** উত্তর:

ক্ষেত্রফল = \(\frac{98}{3}\) বর্গ একক বা প্রায় 32.67 ইউনিট।