y=1/(2x+1)^2 বক্ররেখা এবং y=0,x=0,ও x=1 রেখাদ্বয় দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত ? (বর্গ এককে)

প্রশ্ন:

\( y=\frac{1}{(2x+1)^2} \) বক্ররেখা এবং \( y=0, x=0 \) ও \( x=1 \) রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত? (বর্গ এককে)

সমাধান:

ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য আমাদের \( x=0 \) থেকে \( x=1 \) পর্যন্ত \( y \) এর ইন্টিগ্রাল বের করতে হবে।

অর্থাৎ, ক্ষেত্রফল \( A = \int_{0}^{1} \frac{1}{(2x+1)^2} dx \)

ধরি, \( u = 2x+1 \)

তাহলে, \( du = 2 dx \) বা \( dx = \frac{du}{2} \)

সীমা পরিবর্তন করি: যখন \( x=0 \), \( u = 2(0)+1 = 1 \) এবং যখন \( x=1 \), \( u = 2(1)+1 = 3 \)

সুতরাং, \( A = \int_{1}^{3} \frac{1}{u^2} \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} u^{-2} du \)

\( = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{-1}}{-1} \right]_{1}^{3} = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{u} \right]_{1}^{3} \)

\( = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{3} - (-1) \right] = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{3} + 1 \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} \right] = \frac{1}{3} \) বর্গ একক

অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \( \frac{1}{3} \) বর্গ একক। 🎉