The area of the region enclosed by the curves y2 = x and y = x2 is -
1/3 sq.unit
দেওয়া আছে, দুটি বক্ররেখা \(y^2 = x\) এবং \(y = x^2\)। এই বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
প্রথমে, বক্ররেখাগুলোর ছেদ বিন্দু নির্ণয় করি।
\(y^2 = x\) এবং \(y = x^2\) => \(y^2 = \sqrt{y}\)
\(\implies y^4 = y \implies y^4 - y = 0\)
\(\implies y(y^3 - 1) = 0\)
\(\implies y = 0, 1\)
যখন \(y = 0\), \(x = 0\) এবং যখন \(y = 1\), \(x = 1\)। সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলো \((0, 0)\) এবং \((1, 1)\)।
এখন, আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।
ক্ষেত্রফল, \(A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) dx\)
\(= \int_{0}^{1} (x^{\frac{1}{2}} - x^2) dx\)
\(= [\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1}\)
\(= [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{1}\)
\(= (\frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3}(1)^3) - (\frac{2}{3}(0)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3}(0)^3)\)
\(= \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\)
সুতরাং, বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{3}\) বর্গ একক।
অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{3}\) বর্গ একক। 🎉
```