The region between the curve  y=sqrt2  and the X-axis is revolved about the X-axis to generate a solid. Find its volume.

ঘনবস্তুর আয়তন নির্ণয় 🧮

এখানে, \(y = \sqrt{2}\) রেখাটি এবং X-অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চলের X-অক্ষের সাপেক্ষে ঘূর্ণনের ফলে সৃষ্ট ঘনবস্তুর আয়তন নির্ণয় করতে হবে।

যেহেতু \(y = \sqrt{2}\), এটি X-অক্ষের সমান্তরাল একটি সরলরেখা।

ধরা যাক, X-অক্ষের উপর \(x = a\) থেকে \(x = b\) পর্যন্ত অঞ্চলটি বিবেচনা করা হচ্ছে।

ঘূর্ণনের ফলে সৃষ্ট ঘনবস্তুর আয়তন নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

\(V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx\)

যেহেতু \(y = \sqrt{2}\), তাই \(y^2 = (\sqrt{2})^2 = 2\)

সুতরাং, \(V = \pi \int_{a}^{b} 2 dx = 2\pi \int_{a}^{b} dx\)

\(= 2\pi [x]_{a}^{b} = 2\pi (b - a)\)

যদি \(a = 0\) এবং \(b = r\) হয়, তবে \(V = 2\pi r\)

কিন্তু এখানে \(a\) এবং \(b\) এর মান উল্লেখ নেই। তাই, \(a\) থেকে \(b\) পর্যন্ত অঞ্চলের জন্য আয়তন \(2\pi (b-a)\) ঘন একক।

যদি আমরা \(x = 0\) থেকে \(x = 1\) পর্যন্ত বিবেচনা করি, তবে আয়তন হবে: \(V = 2\pi (1 - 0) = 2\pi\) ঘন একক।

সাধারণভাবে, \(x = a\) থেকে \(x = b\) পর্যন্ত অঞ্চলের জন্য,

\(V = 2\pi (b-a)\) ঘন একক।

উত্তর: \(2\pi (b-a)\) 🥳