The area of the region enclosed between the curves  x = y^2-1 and x = |y|sqrt(1-y^2)  is-

প্রশ্ন: \(x = y^2 - 1\) এবং \(x = |y|\sqrt{1-y^2}\) দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রথমে, ছেদ বিন্দুগুলো বের করি। 🤔

যখন \(y \ge 0\), \(x = y\sqrt{1-y^2}\)

সুতরাং, \(y^2 - 1 = y\sqrt{1-y^2}\)

\((y^2 - 1)^2 = y^2(1-y^2)\)

\(y^4 - 2y^2 + 1 = y^2 - y^4\)

\(2y^4 - 3y^2 + 1 = 0\)

\((2y^2 - 1)(y^2 - 1) = 0\)

সুতরাং, \(y^2 = 1\) অথবা \(y^2 = \frac{1}{2}\)

যেহেতু \(y \ge 0\), \(y = 1\) অথবা \(y = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

যখন \(y = 1\), \(x = 0\)। যখন \(y = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(x = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}\)

এখন, যখন \(y < 0\), \(x = -y\sqrt{1-y^2}\)

সুতরাং, \(y^2 - 1 = -y\sqrt{1-y^2}\)

\((y^2 - 1)^2 = y^2(1-y^2)\)

\(2y^4 - 3y^2 + 1 = 0\)

সুতরাং, \(y^2 = 1\) অথবা \(y^2 = \frac{1}{2}\)

যেহেতু \(y < 0\), \(y = -1\) অথবা \(y = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)

যখন \(y = -1\), \(x = 0\)। যখন \(y = -\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(x = -\frac{1}{2}\)

সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলো \((0, 1)\), \((0, -1)\), \((-\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})\), \((-\frac{1}{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}})\)। 🥳

ক্ষেত্রফল = \(2\int_{0}^{1} [y\sqrt{1-y^2} - (y^2 - 1)] dy\)

= \(2\int_{0}^{1} y\sqrt{1-y^2} dy - 2\int_{0}^{1} (y^2 - 1) dy\)

ধরি, \(1 - y^2 = u\), সুতরাং \(-2ydy = du\)

\(\int_{0}^{1} y\sqrt{1-y^2} dy = -\frac{1}{2}\int_{1}^{0} \sqrt{u} du = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} \sqrt{u} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} [u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\)

\(\int_{0}^{1} (y^2 - 1) dy = [\frac{y^3}{3} - y]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}\)

ক্ষেত্রফল = \(2[\frac{1}{3} - (-\frac{2}{3})] = 2[\frac{1}{3} + \frac{2}{3}] = 2 \cdot 1 = 2\) বর্গ একক। 🤩

অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 2 বর্গ একক।