y² = 4x ও y = x দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল --

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \(y^2 = 4x\) ও \(y = x\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রথমে, \(y^2 = 4x\) এবং \(y = x\) এর ছেদ বিন্দুগুলো বের করি। \(y^2 = 4x\) সমীকরণে \(y = x\) বসিয়ে পাই, \(x^2 = 4x\) \(x^2 - 4x = 0\) \(x(x - 4) = 0\) সুতরাং, \(x = 0\) অথবা \(x = 4\) যখন \(x = 0\), তখন \(y = 0\) যখন \(x = 4\), তখন \(y = 4\) সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলো হলো \((0, 0)\) এবং \((4, 4)\). আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করি: ক্ষেত্রফল, \(A = \int_{0}^{4} (\sqrt{4x} - x) dx\) \(A = \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - x) dx\) \(A = \left[ 2 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}\) \(A = \left[ \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}\) \(A = \left( \frac{4}{3} (4)^{\frac{3}{2}} - \frac{4^2}{2} \right) - \left( \frac{4}{3} (0)^{\frac{3}{2}} - \frac{0^2}{2} \right)\) \(A = \frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{16}{2}\) \(A = \frac{32}{3} - 8\) \(A = \frac{32 - 24}{3}\) \(A = \frac{8}{3}\) বর্গ একক। 🥳 অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(\frac{8}{3}\) বর্গ একক। 🎉 ```