\( y = x + 6 \) এবং \( y = x^2 \) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক ?

Another Explanation (5):

প্রথমে, দুটি রেখা হলো:

• \( y = x + 6 \)
• \( y = x^2 \)

এই দুটি রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে প্রথমে তাদের ছেদ বিন্দু নির্ণয় করতে হবে।

ছেদ বিন্দু নির্ণয়:

সমাধান করি:

\[ x + 6 = x^2 \] \[ x^2 - x - 6 = 0 \]

আসল সমাধান:

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 1 \times (-6)}}{2 \times 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 5}{2} \] অর্থাৎ, \[ x = \frac{1 + 5}{2} = 3 \quad \text{অথবা} \quad x = \frac{1 - 5}{2} = -2 \] সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলি হলো \(x = -2\) এবং \(x = 3\)। এখন, এই সীমার মধ্যে ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি: \[ A = \int_{x=-2}^{x=3} \left( (x + 6) - x^2 \right) dx \]

অভ্যন্তরীণ ইন্টিগ্রাল:

\[ A = \int_{-2}^{3} (x + 6 - x^2) dx \] এখন, ইন্টিগ্রালটি সমাধান করি: \[ A = \left[ \frac{x^2}{2} + 6x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{3} \] প্রথমে, \(x = 3\) এর জন্য: \[ \left( \frac{3^2}{2} + 6 \times 3 - \frac{3^3}{3} \right) = \left( \frac{9}{2} + 18 - 9 \right) = \frac{9}{2} + 9 = \frac{9}{2} + \frac{18}{2} = \frac{27}{2} \] অতঃপর, \(x = -2\) এর জন্য: \[ \left( \frac{(-2)^2}{2} + 6 \times (-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) = \left( \frac{4}{2} - 12 - \frac{-8}{3} \right) = (2 - 12 + \frac{8}{3}) = (-10 + \frac{8}{3}) = \left( -\frac{30}{3} + \frac{8}{3} \right) = -\frac{22}{3} \] অতএব, ক্ষেত্রফল: \[ A = \frac{27}{2} - \left( -\frac{22}{3} \right) = \frac{27}{2} + \frac{22}{3} \] কমন ডিনোমিনেটর ৬: \[ A = \frac{27 \times 3}{6} + \frac{22 \times 2}{6} = \frac{81}{6} + \frac{44}{6} = \frac{125}{6} \] সুতরাং, ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো: \

উত্তর:

\( \boxed{\frac{125}{6}} \)