y = x² - 1, x অক্ষ, x = -1 এবং x = -3 দ্বারা আবব্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে- 

দেওয়া আছে, \(y = x^2 - 1\), x অক্ষ, \(x = -1\) এবং \(x = -3\) দ্বারা আবব্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।

যেহেতু \(x=-1\) থেকে \(x=-3\) এর মধ্যে \(x^2-1\) এর মান ঋণাত্মক হতে পারে, তাই আমাদের ইন্টিগ্রেশন করার সময় পরম মান নিতে হবে।

ক্ষেত্রফল, \(A = \int_{-3}^{-1} |x^2 - 1| dx\)

এখন, \(x^2 - 1 = 0\) ⇒ \(x = \pm 1\)। যেহেতু আমরা \([-3, -1]\) এর মধ্যে ইন্টিগ্রেট করছি, তাই \(x = -1\) একটি গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু। এই অঞ্চলে \(x^2 - 1\) সাধারণত ধনাত্মক হবে।

সুতরাং, \(A = \int_{-3}^{-1} (x^2 - 1) dx\)

\(A = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{-3}^{-1}\)

\(A = \left( \frac{(-1)^3}{3} - (-1) \right) - \left( \frac{(-3)^3}{3} - (-3) \right)\)

\(A = \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) - \left( \frac{-27}{3} + 3 \right)\)

\(A = \left( \frac{2}{3} \right) - \left( -9 + 3 \right)\)

\(A = \frac{2}{3} - (-6)\)

\(A = \frac{2}{3} + 6\)

\(A = \frac{2 + 18}{3}\)

\(A = \frac{20}{3}\) বর্গ একক।

যদি \(x^2 - 1\) এর মান ঋণাত্মক হয়, তবে \(\int |x^2-1| dx = -\int (x^2-1) dx = \int (1-x^2) dx\) হবে। অতএব, ক্ষেত্রফল = \(\int_{-3}^{-1} (x^2 - 1) dx = [\frac{x^3}{3} - x]_{-3}^{-1} = (\frac{-1}{3} + 1) - (\frac{-27}{3} + 3) = \frac{2}{3} - (-9 + 3) = \frac{2}{3} + 6 = \frac{20}{3}\)

কিন্তু প্রদত্ত উত্তর \(\frac{16}{3}\), সম্ভবত প্রশ্নপত্রে অথবা উত্তরে ভুল আছে। সঠিক উত্তর \(\frac{20}{3}\)। 🤔