y-অক্ষ এবং x = 4 - y²​​ পরাবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?​​​​​​

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে, আমাদের দেওয়া রেখা হলো \(x = 4 - y^2\) এবং এটি y-অক্ষের সাথে আবদ্ধ। উপযুক্ত সীমান্ত নির্ণয় করতে, \(x = 0\) হলে: \[ 0 = 4 - y^2 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2 \] অর্থাৎ, ক্ষেত্রের সীমা হলো: \[ y \in [-2, 2] \] এখন, ক্ষেত্রফলের জন্য এলাকা নির্ণয় করতে হবে, যা: \[ \text{Area} = \int_{y=-2}^{2} x\,dy \] এখানে, \(x = 4 - y^2\), সুতরাং: \[ \text{Area} = \int_{-2}^{2} (4 - y^2) dy \] এটি সমাধান করিঃ \[ \text{Area} = \int_{-2}^{2} 4\,dy - \int_{-2}^{2} y^2\,dy \] প্রথম ইন্টিগ্রাল: \[ \int_{-2}^{2} 4\,dy = 4[y]_{-2}^{2} = 4(2 - (-2)) = 4 \times 4 = 16 \] দ্বিতীয় ইন্টিগ্রাল: \[ \int_{-2}^{2} y^2 dy = \left[\frac{y^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{-8}{3} = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \] অতএব, ক্ষেত্রফল: \[ \text{Area} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \]

উত্তর:

ক্ষেত্রফল = \(\frac{32}{3}\) বর্গ একক