x²+y²=1 এবং y²=1-x বক্ররেখা দুটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

Explanation:

Another Explanation (5): x²+y²=1 এবং y²=1-x বক্ররেখা দুটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়: প্রথমে ছেদ বিন্দুগুলো বের করি: x²+y²=1 এবং y²=1-x x²+(1-x)=1 => x²-x=0 => x(x-1)=0 সুতরাং, x=0 অথবা x=1 যখন x=0, y²=1 => y=±1 যখন x=1, y²=0 => y=0 সুতরাং ছেদ বিন্দুগুলো হলো (0,1), (0,-1) এবং (1,0). এখন ক্ষেত্রফল নির্ণয়: বৃত্তের সমীকরণ x²+y²=1 থেকে পাই, \(y = \sqrt{1-x^2}\) এবং y²=1-x থেকে পাই, \(y = \sqrt{1-x}\) আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল A হলে, \(A = 2 \int_{0}^{1} (\sqrt{1-x} - \sqrt{1-x^2}) dx\) 🤯 \(A = 2 [\int_{0}^{1} \sqrt{1-x} \ dx - \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \ dx]\) এখানে, \(\int_{0}^{1} \sqrt{1-x} \ dx = [-\frac{2}{3}(1-x)^{\frac{3}{2}}]_0^1 = -\frac{2}{3}(0-1) = \frac{2}{3}\) 😊 এবং \(\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \ dx\) হলো প্রথম চতুর্ভাগে x²+y²=1 বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, যা বৃত্তের ক্ষেত্রফলের এক চতুর্থাংশ। সুতরাং, \(\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \ dx = \frac{1}{4} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{4}\) 😎 অতএব, \(A = 2 [\frac{2}{3} - \frac{\pi}{4}] = 2 [\frac{2}{3} - \frac{\pi}{4}] = 2(\frac{2}{3} - \frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi}{4} - \frac{2}{3})\) বর্গ একক। 🎉 সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(2(\frac{\pi}{4} - \frac{2}{3})\) ।