প্রশ্নের সমাধান: y = x এবং x2 = y দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
প্রথমে, দুটি সমীকরণ দেওয়া হয়েছে:
- y = x
- x2 = y
এই দুটি সমীকরণের দ্বারা বেঁধে থাকা ক্ষেত্রের সীমা নির্ণয় করা যাক।
ধাপ ১: সমীকরণগুলো প্রতিস্থাপন
y = x, তাই x2 = y এর পরিবর্তে y = x মানে, আমাদের সমাধানে দুইটি সমীকরণ থাকবে:
- y = x
- y = x2
অর্থাৎ, ক্ষেত্রটি সেই স্থানে যেখানে y = x এবং y = x2 একে অপরের সঙ্গে সংযুক্ত।
ধাপ ২: সীমা নির্ণয়
সুতরাং, যেখানে y = x এবং y = x2 এক হয়, সেখানে:
\[ x = x^2 \] \[ x^2 - x = 0 \] \[ x(x - 1) = 0 \] অর্থাৎ, x = 0 অথবা x = 1ধাপ ৩: ক্ষেত্রের সীমা নির্ণয়
এই সীমাগুলি ব্যবহার করে, আমরা ক্ষেত্রের নিচের সীমা x = 0 এবং উপরের সীমা x = 1।
ধাপ ৪: ক্ষেত্রফল গণনা
ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য, আমরা ইন্টিগ্রাল ব্যবহার করব যেখানে y = x এবং y = x2 এর মধ্যে সীমাবদ্ধ।
ক্ষেত্রফল:
\[ A = \int_{x=0}^{1} \left( \text{উপরে রেখা} - \text{নিচে রেখা} \right) dx \] উপরে রেখা: y = xনিচে রেখা: y = x2 অতএব: \[ A = \int_{0}^{1} (x - x^2) dx \]
ধাপ ৫: ইন্টিগ্রাল সমাধান
\[ A = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 \] \[ A = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right) - (0 - 0) \] \[ A = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) \] সাধারণ করে: \[ A = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \]উত্তর:
অতএব, ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{6}\) বর্গ একক।