y²=4x এবং y = x দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 

প্রশ্ন: \(y^2=4x\) এবং \(y=x\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রথমে, \(y^2 = 4x\) এবং \(y = x\) এর ছেদ বিন্দুগুলো নির্ণয় করি।

\(y^2 = 4x\) সমীকরণে \(y = x\) বসিয়ে পাই, \(x^2 = 4x\) \(x^2 - 4x = 0\) \(x(x - 4) = 0\) সুতরাং, \(x = 0\) অথবা \(x = 4\)

যখন \(x = 0\), তখন \(y = 0\) যখন \(x = 4\), তখন \(y = 4\)

সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলো হলো \((0, 0)\) এবং \((4, 4)\)।

এখন, আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করি। \(x\) এর সাপেক্ষে ইন্টিগ্রেট করলে, ক্ষেত্রফল \(A = \int_{0}^{4} (\sqrt{4x} - x) dx\)

\(A = \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - x) dx\) \(A = \left[ 2 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^2 \right]_{0}^{4}\) \(A = \left[ \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^2 \right]_{0}^{4}\)

\(A = \left( \frac{4}{3} (4)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} (4)^2 \right) - \left( \frac{4}{3} (0)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} (0)^2 \right)\) \(A = \left( \frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{1}{2} \cdot 16 \right) - (0)\) \(A = \frac{32}{3} - 8\) \(A = \frac{32 - 24}{3}\) \(A = \frac{8}{3}\)

অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(\frac{8}{3}\) বর্গ একক। 🎉

উত্তর: \(\frac{8}{3}\) বর্গ একক। ✅