y²=x এবং x²=y বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

প্রশ্ন: y²=x এবং x²=y বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:

প্রথমে, বক্ররেখা দুইটির ছেদ বিন্দুগুলো নির্ণয় করি।

y² = x এবং x² = y

x² = y ⇒ x⁴ = y²

সুতরাং, x⁴ = x

⇒ x⁴ - x = 0

⇒ x(x³ - 1) = 0

⇒ x = 0 অথবা x³ = 1 ⇒ x = 1

x = 0 হলে, y = 0 এবং x = 1 হলে, y = 1। সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলো (0, 0) এবং (1, 1)। 🥳

ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য, আমরা ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করব। y² = x ⇒ y = √x এবং x² = y। 🧐

আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল,

\(\int_{0}^{1} (√x - x^2) dx\)

= \(\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} dx - \int_{0}^{1} x^2 dx\)

= \([\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - [\frac{x^3}{3}]_{0}^{1}\)

= \(\frac{2}{3} [x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - \frac{1}{3} [x^3]_{0}^{1}\)

= \(\frac{2}{3} (1^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{3} (1^3 - 0^3)\)

= \(\frac{2}{3} - \frac{1}{3}\)

= \(\frac{1}{3}\) বর্গ একক। 🎉

অতএব, y²=x এবং x²=y বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{3}\) বর্গ একক।