y²=4x পরাবৃত্ত এবং y=x রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

পরাবৃত্ত এবং সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

y²=4x পরাবৃত্ত এবং y=x রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা হলো:

1. ছেদ বিন্দু নির্ণয়:

   পরাবৃত্তের সমীকরণ: y² = 4x ...(1)
   সরলরেখার সমীকরণ: y = x ...(2)
   (1) নং সমীকরণে (2) নং সমীকরণ থেকে y এর মান বসিয়ে পাই,
   x² = 4x
   x² - 4x = 0
   x(x - 4) = 0
   সুতরাং, x = 0 অথবা x = 4

   x = 0 হলে, y = 0 এবং x = 4 হলে, y = 4
   সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলো হলো (0, 0) এবং (4, 4)।

   🥳🥳🥳

2. ক্ষেত্রফল নির্ণয়:

   আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, A = ∫₀⁴ (√4x - x) dx

   A = ∫₀⁴ (2√x - x) dx
   A = 2∫₀⁴ √x dx - ∫₀⁴ x dx
   A = 2 [ (2/3)x^3/2 ]₀⁴ - [ (1/2)x² ]₀⁴
   A = (4/3) [ 4^3/2 - 0 ] - (1/2) [ 4² - 0 ]
   A = (4/3) * 8 - (1/2) * 16
   A = (32/3) - 8
   A = (32 - 24) / 3
   A = 8/3 বর্গ একক

   🎉🎉🎉

অতএব, y²=4x পরাবৃত্ত এবং y=x রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 8/3 বর্গ একক।

😎😎😎