y² = 4x এবং y= x দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত ?  

y² = 4x এবং y = x দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:

প্রথমে, ছেদবিন্দুগুলো বের করি। এর জন্য y² = 4x সমীকরণে y = x বসাই:

x² = 4x

x² - 4x = 0

x(x - 4) = 0

সুতরাং, x = 0 অথবা x = 4

x = 0 হলে, y = 0 এবং x = 4 হলে, y = 4। সুতরাং ছেদবিন্দুগুলো (0, 0) 💖 এবং (4, 4) 🎈।

এখন, ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য ইন্টিগ্রেশন করি:

ক্ষেত্রফল = \( \int_{0}^{4} (\sqrt{4x} - x) dx \)

= \( \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - x) dx \)

= \( [2 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}x^2]_{0}^{4} \)

= \( [\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}x^2]_{0}^{4} \)

= \( (\frac{4}{3}(4)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}(4)^2) - (\frac{4}{3}(0)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}(0)^2) \)

= \( (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{1}{2} \cdot 16) - (0 - 0) \)

= \( \frac{32}{3} - 8 \)

= \( \frac{32 - 24}{3} \)

= \( \frac{8}{3} \) বর্গ একক 🎉।

অতএব, y² = 4x এবং y = x দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \( \frac{8}{3} \)।