Find the area of the region between the x-axis and the graph of f(x)=x³-x²-2x-1, -1≤x≤2.

অঞ্চলটির ক্ষেত্রফল নির্ণয়

ধাপ ১: প্রথমে \(f(x) = x^3 - x^2 - 2x\) ফাংশনটি x-অক্ষকে কোথায় ছেদ করে তা বের করতে হবে। এর জন্য, \(f(x) = 0\) ধরে সমাধান করি:

\(x^3 - x^2 - 2x = 0\)
\(x(x^2 - x - 2) = 0\)
\(x(x - 2)(x + 1) = 0\)

সুতরাং, \(x = -1, 0, 2\).

ধাপ ২: এখন, আমাদের \([-1, 2]\) ব্যবধিতে \(f(x)\)-এর ইন্টিগ্রেশন বের করতে হবে। যেহেতু ফাংশনটি x-অক্ষের উপরে এবং নীচে উভয় দিকেই আছে, তাই আমাদের ক্ষেত্রফল বের করার জন্য পরম মান ব্যবহার করতে হবে।

সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল:

\(A = \int_{-1}^{2} |x^3 - x^2 - 2x| dx\)
\(A = \int_{-1}^{0} (x^3 - x^2 - 2x) dx - \int_{0}^{2} (x^3 - x^2 - 2x) dx\)

ধাপ ৩: ইন্টিগ্রেশন সমাধান করি:

\(\int (x^3 - x^2 - 2x) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2 + C\)

এখন, \([-1, 0]\) এবং \([0, 2]\) ব্যবধির জন্য ইন্টিগ্রেশনের মান বের করি:

\(\int_{-1}^{0} (x^3 - x^2 - 2x) dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2\right]_{-1}^{0} = (0) - \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1\right) = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{12 - 3 - 4}{12} = \frac{5}{12}\)

\(\int_{0}^{2} (x^3 - x^2 - 2x) dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2\right]_{0}^{2} = \left(\frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4\right) - (0) = 4 - \frac{8}{3} - 4 = -\frac{8}{3}\)

সুতরাং, মোট ক্ষেত্রফল:

\(A = \left|\frac{5}{12}\right| + \left|-\frac{8}{3}\right| = \frac{5}{12} + \frac{8}{3} = \frac{5}{12} + \frac{32}{12} = \frac{37}{12}\)

অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(\frac{37}{12}\) বর্গ একক। 🎉