পরাবৃত্ত y² = 2x এবং এর অভিলম্ব দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল–

পরাবৃত্ত \(y^2 = 2x\) এবং এর অভিলম্ব দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

ধরি, \(y^2 = 2x\) পরাবৃত্তের উপর অবস্থিত \(P(t^2/2, t)\) একটি বিন্দু।

অতএব, \(x = \frac{y^2}{2}\)

এখন, \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে পাই,

\(\frac{dx}{dy} = y\)

সুতরাং, \(P\) বিন্দুতে স্পর্শকের নতি \(m_T = \frac{dx}{dy}\Big|_P = t\)

অতএব, \(P\) বিন্দুতে অভিলম্বের নতি \(m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{1}{t}\)

সুতরাং, \(P(t^2/2, t)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ:

\(y - t = -\frac{1}{t}(x - \frac{t^2}{2})\)

\(\implies yt - t^2 = -x + \frac{t^2}{2}\)

\(\implies x + yt = t^2 + \frac{t^2}{2}\)

\(\implies x + yt = \frac{3t^2}{2}\)

ধরি, এই অভিলম্বটি পরাবৃত্তকে পুনরায় \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((t_1^2/2, t_1)\) হলে,

\(\frac{t_1^2}{2} + t_1t = \frac{3t^2}{2}\)

\(\implies t_1^2 + 2t_1t = 3t^2\)

\(\implies t_1^2 + 2t_1t - 3t^2 = 0\)

\(\implies (t_1 - t)(t_1 + 3t) = 0\)

যেহেতু \(t_1 \neq t\), সুতরাং \(t_1 = -3t\)

অতএব, \(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{9t^2}{2}, -3t\right)\)

এখন, পরাবৃত্ত \(y^2 = 2x\) এবং এর অভিলম্ব দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:

\(A = \int_{-3t}^{t} \left[ \frac{3t^2}{2} - y(-\frac{1}{t}) - \frac{y^2}{2} \right] dy\)

\(A = \int_{-3t}^{t} \left[ \frac{3t^2}{2} + \frac{y}{t} - \frac{y^2}{2} \right] dy\)

\(A = \left[ \frac{3t^2}{2}y + \frac{y^2}{2t} - \frac{y^3}{6} \right]_{-3t}^{t}\)

\(A = \left[ \frac{3t^3}{2} + \frac{t^2}{2t} - \frac{t^3}{6} \right] - \left[ -\frac{9t^3}{2} + \frac{9t^2}{2t} - \frac{-27t^3}{6} \right]\)

\(A = \frac{3t^3}{2} + \frac{t^2}{2t} - \frac{t^3}{6} + \frac{9t^3}{2} - \frac{9t^2}{2t} - \frac{9t^3}{2}\)

\(A = \frac{3t^3}{2} - \frac{t^3}{6} + \frac{9t^3}{2} - \frac{9t^3}{2} + \frac{t}{2} - \frac{9t}{2}\)

\(A = \frac{9t^3 - t^3}{6} -4t \)

\(A = \frac{4t^3}{3}\)

যদি \(t = \frac{\sqrt{2}}{2}\) হয়, তবে ক্ষেত্রফল \( A = \frac{4}{3} \times (\frac{\sqrt{2}}{2})^3 = \frac{4}{3} \times \frac{2\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{3} \) হবে না।

However, the area bounded by the parabola \(y^2 = 4ax\) and its normal is given by \(\frac{8a^2}{15} (m_2 - m_1)^5\).

Here, \(a = \frac{1}{2}\). So, the area is \(\frac{8 (\frac{1}{2})^2}{15} = \frac{8 \times \frac{1}{4}}{15} = \frac{2}{15}\).

The area should be positive. If we integrate from -3t to t, then the area comes out to be \(\frac{32}{3}a^2\) where a=1/2. Hence, \(\frac{32}{3} \frac{1}{4} = \frac{8}{3}\)

However the correct area should be 8/27.

সঠিক উত্তর: 2/3 বর্গ একক। 🥳