x^2 -6x +y^2 + 8y = 0 দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে-

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: \(x^2 - 6x + y^2 + 8y = 0\)

এই সমীকরণটিকে একটি বৃত্তের সাধারণ সমীকরণের আকারে প্রকাশ করার জন্য আমরা \(x\) এবং \(y\) এর বর্গ পূর্ণ করি।

\((x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) = 0\)

\((x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) = 9 + 16\)

\((x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25\)

এটি \((h, k)\) কেন্দ্র এবং \(r\) ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের সমীকরণ, যেখানে \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)।

এখানে, বৃত্তের কেন্দ্র \((3, -4)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{25} = 5\)।

বৃত্তের ক্ষেত্রফল, \(A = \pi r^2\)

অতএব, বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(A = \pi (5)^2 = 25\pi\)

সুতরাং, \(x^2 - 6x + y^2 + 8y = 0\) দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(25\pi\) বর্গ একক। 🎉