y^2=x, y=x^2 বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন:

\(\) \(y^2 = x,\quad y = x^2\) বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রথমে, দুই বক্ররেখার সমীকরণ দিতে হয়েছে:

• \(y^2 = x\)
• \(y = x^2\)

ধাপ ১: উভয় বক্ররেখার ক্রসিং পয়েন্ট নির্ণয়

উভয় সমীকরণ সমান করি:

\[ y^2 = x \quad \text{এবং} \quad y = x^2 \] অর্থাৎ, \[ y^2 = y^{1/2} \] অথবা, \[ x = y^2 \quad \text{এবং} \quad y = x^2 \] অথবা, \(x\) এর জন্য: \[ \text{from } y = x^2 \Rightarrow x = y^{1/2} \] কিন্তু, সরাসরি সমাধানে সুবিধার জন্য, প্রথমে \(y\) এর উপর ভিত্তি করে সমাধান করি। দুটো সমীকরণ থেকে, আমরা \(x\) ও \(y\) এর মান নির্ণয় করি: প্রথম সমীকরণ থেকে: \[ x = y^2 \] দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে: \[ y = x^2 \] এখানে, \(x\) ও \(y\) এর মান সমাধানের জন্য, প্রথমে \(x\) এর জন্য \(y\) এর মান নির্ণয় করি: \[ x = y^2 \] এবং \[ y = x^2 \] এখন, \(x = y^2\) হলে, \[ y = (y^2)^2 = y^4 \] অর্থাৎ, \[ y = y^4 \] এখানে, দুইটি সমাধান হয়: \[ y = 0 \quad \text{অথবা} \quad y^3 = 1 \Rightarrow y = 1 \] সুতরাং, ক্রসিং পয়েন্টগুলো হলো: \[ \text{At } y = 0: \quad x = 0^2 = 0 \Rightarrow (0,0) \] \[ \text{At } y = 1: \quad x = 1^2 = 1 \Rightarrow (1,1) \]

ধাপ ২: ক্ষেত্রের আয়তন নির্ণয়

উভয় বক্ররেখার মধ্যে অবস্থিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে, আমরা \(x\) এর উপর ইন্টিগ্রাল করব। উপরে নির্ণীত ক্রসিং পয়েন্ট অনুযায়ী, \(x\) এর জন্য সীমা: \[ x \text{ from } 0 \text{ to } 1 \] প্রতিটি \(x\) এর জন্য, বক্ররেখা থেকে নিচের সীমা হলো \(y = x^2\) (কারণ, \(y = x^2\) বক্ররেখা নিচে), এবং উপরের সীমা হলো \(y = \sqrt{x}\) (কারণ, \(y^2 = x\) থেকে, \(y = \pm \sqrt{x}\), তবে উপরের অংশের জন্য \(y = \sqrt{x}\))। অতএব, ক্ষেত্রফল \(A\) হবে: \[ A = \int_{x=0}^{1} \left( \sqrt{x} - x^2 \right) dx \]

ধাপ ৩: এই ইন্টিগ্রাল সমাধান

\[ A = \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx - \int_{0}^{1} x^2 \, dx \] প্রথম ইন্টিগ্রাল: \[ \int_{0}^{1} x^{1/2} dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{3} (1)^{3/2} - 0 = \frac{2}{3} \] দ্বিতীয় ইন্টিগ্রাল: \[ \int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_0^1 = \frac{1}{3} (1)^3 - 0 = \frac{1}{3} \] অতএব, \[ A = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \] তবে, এটি শুধুমাত্র উপরের অংশের ক্ষেত্রফল। যেহেতু ক্ষেত্রটি উভয় অংশের সমান্তরাল, তবে, বক্ররেখাগুলোর মধ্যে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো: \[ \boxed{\frac{3}{2}} \] (প্রথমে, আমাদের লক্ষ্য ছিল ক্ষেত্রফল নির্ণয়, কিন্তু উপরের গণনায় কিছু ভুল হয়েছে। যথার্থ সমাধান হলো, উপরের অংশের ক্ষেত্রফল \(\frac{2}{3}\) ও নিচের অংশের ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{3}\), এবং পুরো ক্ষেত্রফল হলো তাদের যোগফল। তবে, বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল: \[ \text{Total area} = \frac{3}{2} \] **সম্পূর্ণ সমাধান:**

সংক্ষিপ্তভাবে:

\[
\text{ক্ষেত্রফল} = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) dx = \left[\frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{3} x^3 \right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}
\]
নির্ধারিতভাবে, পুরো ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(\boxed{\frac{3}{2}}\)।