Find the area of the region enclosed by the graphs y = x - 1 and x = 3-y².

প্রশ্ন:

Find the area of the region enclosed by the graphs y = x - 1 and x = 3-y².

উত্তর:

প্রথমে, আমাদের ছেদ বিন্দুগুলো খুঁজে বের করতে হবে। এর জন্য, আমরা দুটি সমীকরণ সমাধান করি:

\(y = x - 1 \Rightarrow x = y + 1\)

অতএব, \(y + 1 = 3 - y^2\)

\(y^2 + y - 2 = 0\)

\((y + 2)(y - 1) = 0\)

সুতরাং, \(y = -2\) অথবা \(y = 1\)

যখন \(y = -2\), \(x = -2 + 1 = -1\).

যখন \(y = 1\), \(x = 1 + 1 = 2\).

সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলো হল \((-1, -2)\) এবং \((2, 1)\)।

এখন, ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার জন্য, আমরা \(x = 3 - y^2\) এবং \(x = y + 1\) এর মধ্যেকার ইন্টিগ্রাল বের করব \(y\) এর সাপেক্ষে \(-2\) থেকে \(1\) পর্যন্ত:

\(Area = \int_{-2}^{1} [(3 - y^2) - (y + 1)] dy\)

\(= \int_{-2}^{1} (3 - y^2 - y - 1) dy\)

\(= \int_{-2}^{1} (2 - y^2 - y) dy\)

\(= [2y - \frac{y^3}{3} - \frac{y^2}{2}]_{-2}^{1}\)

\(= (2(1) - \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2}) - (2(-2) - \frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2})\)

\(= (2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}) - (-4 + \frac{8}{3} - 2)\)

\(= (2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}) - (-6 + \frac{8}{3})\)

\(= 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 6 - \frac{8}{3}\)

\(= 8 - \frac{9}{3} - \frac{1}{2}\)

\(= 8 - 3 - \frac{1}{2}\)

\(= 5 - \frac{1}{2}\)

\(= \frac{10}{2} - \frac{1}{2}\)

\(= \frac{9}{2}\)

অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(\frac{9}{2}\) বর্গ একক। 🎉