Another Explanation (5):
প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
প্রশ্নে দেওয়া রেখা ও বৃত্তের সমীকরণ সমূহ হলো:
\[
y = x, \quad y = 0, \quad \text{এবং} \quad x^2 + y^2 = 64
\]
এগুলো দ্বারা প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হলে প্রথমে ক্ষেত্রের সীমা নির্ণয় করতে হবে।
ধাপ ১: ক্ষেত্রের সীমা নির্ণয়
- রেখা \( y = x \) এবং \( y = 0 \) প্রথম চতুর্ভাগে পুলবদ্ধ রেখা।
- বৃত্তের কেন্দ্র হয় \((0,0)\) এবং ধনাত্মক অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ \( r = 8 \) (কারণ \( x^2 + y^2 = 64 \))।
প্রথম চতুর্ভাগে, যেখানে \( 0 \leq x \leq 8 \) এবং \( y \) এর মান হবে \( 0 \) থেকে \( y = x \) পর্যন্ত।
বৃত্তের অর্ধাংশের জন্য \( y \) এর মান হবে:
\[
0 \leq y \leq \sqrt{64 - x^2}
\]
কিন্তু, রেখা \( y = x \) এই অর্ধেকের সীমা হিসেবে কাজ করবে।
ধাপ ২: ক্ষেত্রফল নির্ণয়
এখন, ক্ষেত্রফল \(A\) হবে:
\[
A = \int_{x=0}^{8} \left( \text{উপরে রেখা} - \text{নিচের রেখা} \right) dx
\]
উপরে রেখা হল \( y = x \), এবং নিচের রেখা হলো \( y = 0 \)।
তাই,
\[
A = \int_{0}^{8} (x - 0) \, dx = \int_{0}^{8} x \, dx
\]
তাহলে,
\[
A = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^8 = \frac{8^2}{2} - 0 = \frac{64}{2} = 32
\]
এটি হল প্রথম চতুর্ভাগের আংশিক ক্ষেত্রফল। তবে, এই ক্ষেত্রের মধ্যে বৃত্তের অর্ধেকের ক্ষেত্রফল হিসেবেও দেখা যায়, কারণ বৃত্তের অর্ধেকের ক্ষেত্রফল হল:
\[
\frac{1}{2} \times \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times 8^2 = \frac{1}{2} \times 64\pi = 32\pi
\]
অতএব, প্রথম ???তুর্ভাগের ক্ষেত্রফল হবে বৃত্তের অর্ধেক ক্ষেত্রফলের অর্ধেক, অর্থাৎ:
\[
\frac{1}{4} \times 64\pi = 16\pi
\]
**সুতরাং, প্রথম চতুর্ভাগের ক্ষেত্রফল হল:**
\[
\boxed{16\pi}
\]
