\( y = x, y = 0 \) এবং \( x^2 + y^2 = 64 \) দ্বারা প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গএকক?

Another Explanation (5):

প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

প্রশ্নে দেওয়া রেখা ও বৃত্তের সমীকরণ সমূহ হলো: \[ y = x, \quad y = 0, \quad \text{এবং} \quad x^2 + y^2 = 64 \] এগুলো দ্বারা প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হলে প্রথমে ক্ষেত্রের সীমা নির্ণয় করতে হবে।

ধাপ ১: ক্ষেত্রের সীমা নির্ণয়

- রেখা \( y = x \) এবং \( y = 0 \) প্রথম চতুর্ভাগে পুলবদ্ধ রেখা। - বৃত্তের কেন্দ্র হয় \((0,0)\) এবং ধনাত্মক অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ \( r = 8 \) (কারণ \( x^2 + y^2 = 64 \))। প্রথম চতুর্ভাগে, যেখানে \( 0 \leq x \leq 8 \) এবং \( y \) এর মান হবে \( 0 \) থেকে \( y = x \) পর্যন্ত। বৃত্তের অর্ধাংশের জন্য \( y \) এর মান হবে: \[ 0 \leq y \leq \sqrt{64 - x^2} \] কিন্তু, রেখা \( y = x \) এই অর্ধেকের সীমা হিসেবে কাজ করবে।

ধাপ ২: ক্ষেত্রফল নির্ণয়

এখন, ক্ষেত্রফল \(A\) হবে: \[ A = \int_{x=0}^{8} \left( \text{উপরে রেখা} - \text{নিচের রেখা} \right) dx \] উপরে রেখা হল \( y = x \), এবং নিচের রেখা হলো \( y = 0 \)। তাই, \[ A = \int_{0}^{8} (x - 0) \, dx = \int_{0}^{8} x \, dx \] তাহলে, \[ A = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^8 = \frac{8^2}{2} - 0 = \frac{64}{2} = 32 \] এটি হল প্রথম চতুর্ভাগের আংশিক ক্ষেত্রফল। তবে, এই ক্ষেত্রের মধ্যে বৃত্তের অর্ধেকের ক্ষেত্রফল হিসেবেও দেখা যায়, কারণ বৃত্তের অর্ধেকের ক্ষেত্রফল হল: \[ \frac{1}{2} \times \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times 8^2 = \frac{1}{2} \times 64\pi = 32\pi \] অতএব, প্রথম ???তুর্ভাগের ক্ষেত্রফল হবে বৃত্তের অর্ধেক ক্ষেত্রফলের অর্ধেক, অর্থাৎ: \[ \frac{1}{4} \times 64\pi = 16\pi \] **সুতরাং, প্রথম চতুর্ভাগের ক্ষেত্রফল হল:** \[ \boxed{16\pi} \]