y²=x এবং x=1 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল _ বর্গ একক।

প্রশ্ন:

y²=x এবং x=1 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

প্রথমে, y²=x সমীকরণটি থেকে y এর মান বের করি: \[ y = \pm \sqrt{x} \]

x=1 রেখাটি y অক্ষের সমান্তরাল। সুতরাং, আবদ্ধ ক্ষেত্রটি হলো y = √x, y = -√x এবং x = 1 দ্বারা সীমাবদ্ধ। ক্ষেত্রফল বের করার জন্য আমরা ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করব।

ক্ষেত্রফল, A = \( \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - (-\sqrt{x})) dx \)

= \( \int_{0}^{1} 2\sqrt{x} dx \)

= \( 2 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} dx \)

= \( 2 \left[ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1} \)

= \( 2 \cdot \frac{2}{3} \left[ x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1} \)

= \( \frac{4}{3} (1^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}}) \)

= \( \frac{4}{3} (1 - 0) \)

= \( \frac{4}{3} \) বর্গ একক। 🎉

সুতরাং, y²=x এবং x=1 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \( \frac{4}{3} \) বর্গ একক।