y=x, y=0 রেখাদ্বয় এবংx^2+y^2=16 বৃত্ত দ্বারা প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত? 

Another Explanation (5):

প্রথমে, দুটি রেখা এবং বৃত্তের মধ্যবর্তী ক্ষেত্রের সীমা নির্ণয় করি:

• রেখা: \( y = x \)
• অবক্ষ: \( y=0 \)
• বৃত্ত: \( x^2 + y^2 = 16 \)

প্রথম চতুর্ভাগে ক্ষেত্রের জন্য, যেখানে \( x \geq 0 \) এবং \( y \geq 0 \), সীমাবদ্ধতা হলো:

• বৃত্তের অংশ: \( y = \sqrt{16 - x^2} \)
• রেখা: \( y = x \)

অর্থাৎ, এই ক্ষেত্রের জন্য সীমা হবে \( y \) এর জন্য: \( 0 \) থেকে \( \min(x, \sqrt{16 - x^2}) \)।

তবে, যেখানে \( y = x \) এবং \( y = \sqrt{16 - x^2} \) পারস্পরিক ছেদ করে, সেখানে:

\[ x = \sqrt{16 - x^2} \] \[ x^2 = 16 - x^2 \] \[ 2x^2 = 16 \] \[ x^2 = 8 \] \[ x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

সুতরাং, এই ছেদ বিন্দু হলো \( x = 2\sqrt{2} \)।

এখন, ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করতে পারি:

A = ∫_{x=0}^{2√2} [ \sqrt{16 - x^2} - x ] dx

অতএব, ক্ষেত্রফল:

A = ∫_{0}^{2√2} \sqrt{16 - x^2} dx - ∫_{0}^{2√2} x dx

প্রথম অংশের সমাধান:

∫ \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a} + C

দ্বিতীয় অংশের সমাধান:

∫ x dx = \frac{x^2}{2} + C

মূল্য নির্ণয়:

A = \left[ \frac{x}{2} \sqrt{16 - x^2} + 8 \arcsin \frac{x}{4} \right]_0^{2\sqrt{2}} - \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{2\sqrt{2}}

প্রথম অংশের মান:

যেখানে, \( x = 2\sqrt{2} \):

\frac{2\sqrt{2}}{2} \sqrt{16 - (2\sqrt{2})^2} + 8 \arcsin \frac{2\sqrt{2}}{4}

\[ = \sqrt{2} \times \sqrt{16 - 8} + 8 \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ = \sqrt{2} \times \sqrt{8} + 8 \times \frac{\pi}{4} \] \[ = \sqrt{2} \times 2 \sqrt{2} + 2 \pi \] \[ = 2 \times 2 + 2 \pi = 4 + 2 \pi \]

নিচের সীমার জন্য:

0 \times \text{(some value)} + 8 \times 0 = 0

দ্বিতীয় অংশের মান:

\frac{(2\sqrt{2})^2}{2} = \frac{8}{2} = 4

অতএব, ক্ষেত্রফল:

A = (4 + 2 \pi) - 4 = 2 \pi

অতএব, ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো \(\boxed{4 \pi}\) বর্গ একক।