The maximum area of a rectangle (shown in the figure below) inscribed in a circle of radius 10 m is:

বৃত্তে অন্তর্লিখিত আয়তক্ষেত্রের সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল নির্ণয়

ধরি, \(r\) = বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 10m

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য \(2x\) এবং প্রস্থ \(2y\)।

তাহলে, \(x^2 + y^2 = r^2\) (পিথাগোরাসের উপপাদ্য)

অতএব, \(y = \sqrt{r^2 - x^2}\)

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, \(A = (2x)(2y) = 4xy = 4x\sqrt{r^2 - x^2}\)

ক্ষেত্রফল \(A\) কে সর্বোচ্চ করতে, \(\frac{dA}{dx} = 0\) হতে হবে।

\(\frac{dA}{dx} = 4\sqrt{r^2 - x^2} + 4x \cdot \frac{1}{2\sqrt{r^2 - x^2}} \cdot (-2x) = 0\)

\(\Rightarrow 4\sqrt{r^2 - x^2} - \frac{4x^2}{\sqrt{r^2 - x^2}} = 0\)

\(\Rightarrow 4(r^2 - x^2) - 4x^2 = 0\)

\(\Rightarrow r^2 - x^2 - x^2 = 0\)

\(\Rightarrow r^2 = 2x^2\)

\(\Rightarrow x^2 = \frac{r^2}{2}\)

\(\Rightarrow x = \frac{r}{\sqrt{2}}\)

এখন, \(y = \sqrt{r^2 - x^2} = \sqrt{r^2 - \frac{r^2}{2}} = \sqrt{\frac{r^2}{2}} = \frac{r}{\sqrt{2}}\)

সুতরাং, \(x = y = \frac{r}{\sqrt{2}}\)

অতএব, সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল, \(A_{max} = 4xy = 4 \cdot \frac{r}{\sqrt{2}} \cdot \frac{r}{\sqrt{2}} = 2r^2\)

যেহেতু \(r = 10m\), \(A_{max} = 2 \cdot (10)^2 = 2 \cdot 100 = 200 m^2\)

সুতরাং, বৃত্তে অন্তর্লিখিত আয়তক্ষেত্রের সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল 200 বর্গমিটার। 🎉