যদি কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমহারে বৃদ্ধি পায়, তবে তার ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধির হার তার ব্যাসার্ধের-

সমাধান:

ধরা যাক, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r\)। তাহলে এর ক্ষেত্রফল \(A\) হবে:

\[ A = \pi r^2 \]

এখন, ধরি \(r\) সমহারে বৃদ্ধি পায়, অর্থাৎ, \(r\) এর পরিবর্তন \(\mathrm{d}r\)। তাহলে, ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন \(\mathrm{d}A\) হবে:

\[ \mathrm{d}A = 2\pi r \,\mathrm{d}r \]

ফলস্বরূপ, ক্ষেত্রফলের হারের অ???ুপাত \(A\) এর সাথে কেমন সম্পর্??? রয়েছে তা নির্ণয় করি।

ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধির হার (প্রতি ক্ষণিকের জন্য) হবে:

\[ \frac{\mathrm{d}A}{A} = \frac{2\pi r \,\mathrm{d}r}{\pi r^2} = \frac{2 \,\mathrm{d}r}{r} \]

অর্থাৎ, ক্ষেত্রফলের হারের অনুপাত \(\frac{\mathrm{d}A}{A}\) অনুপাতিক \( \frac{1}{r} \) এর সাথে।

অর্থাৎ, যখন \(r\) সমহারে বৃদ্ধি পায়, তখন ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধির হার তার ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতিক নয়, বরং তার ব্যাসার্ধের সাথে অনুপাতিক।

উপসংহার:

সুতরাং, ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধির হার তার ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতিক নয়, বরং তার ব্যাসার্ধের অনুপাতিক।