y² = 8x পরাবৃত্ত এবং এর উপকেন্দ্রিক লম্ব দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

দেয়া আছে, পরাবৃত্তের সমীকরণ:

\( y^2 = 8x \)

এই সমীকরণকে \( y^2 = 4ax \) এর সাথে তুলনা করে পাই, \( 4a = 8 \) সুতরাং \( a = 2 \)।

অতএব, পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \( (a, 0) = (2, 0) \)।

উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \( x = a \), অর্থাৎ \( x = 2 \)।

পরাবৃত্ত \( y^2 = 8x \) এবং \( x = 2 \) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে, পরাবৃত্ত এবং সরলরেখার ছেদ বিন্দুগুলো বের করি।

\( x = 2 \) সমীকরণটি \( y^2 = 8x \) এ বসালে পাই,

\( y^2 = 8 \times 2 = 16 \)

\( y = \pm 4 \)

সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলো হলো \( (2, 4) \) এবং \( (2, -4) \)।

এখন, আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:

\( A = 2 \int_{0}^{4} (2 - \frac{y^2}{8}) dy \)

\( = 2 \left[ 2y - \frac{y^3}{24} \right]_{0}^{4} \)

\( = 2 \left[ (2 \times 4 - \frac{4^3}{24}) - (0) \right] \)

\( = 2 \left[ 8 - \frac{64}{24} \right] \)

\( = 2 \left[ 8 - \frac{8}{3} \right] \)

\( = 2 \left[ \frac{24 - 8}{3} \right] \)

\( = 2 \times \frac{16}{3} \)

\( = \frac{32}{3} \) বর্গ একক।

সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \( \frac{32}{3} \) বর্গ একক। 🎉