y²=4x এবং y=x সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

দেওয়া আছে, পরাবৃত্ত \( y^2 = 4x \) এবং সরলরেখা \( y = x \) ।

ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য প্রথমে ছেদ বিন্দুগুলো বের করতে হবে।

\( y = x \) সমীকরণটি \( y^2 = 4x \) এ বসিয়ে পাই,

\( x^2 = 4x \)

\( x^2 - 4x = 0 \)

\( x(x - 4) = 0 \)

সুতরাং, \( x = 0 \) অথবা \( x = 4 \)

যখন \( x = 0 \), তখন \( y = 0 \)

আবার, যখন \( x = 4 \), তখন \( y = 4 \)

সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলো হলো \( (0, 0) \) এবং \( (4, 4) \) ।

এখন, আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:

\( A = \int_{0}^{4} (\sqrt{4x} - x) \, dx \)

\( = \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - x) \, dx \)

\( = \left[ 2 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} \)

\( = \left[ \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} \)

\( = \left( \frac{4}{3} (4)^{\frac{3}{2}} - \frac{(4)^2}{2} \right) - \left( \frac{4}{3} (0)^{\frac{3}{2}} - \frac{(0)^2}{2} \right) \)

\( = \frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{16}{2} \)

\( = \frac{32}{3} - 8 \)

\( = \frac{32 - 24}{3} \)

\( = \frac{8}{3} \)

সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \( \frac{8}{3} \) বর্গ একক। 🎉