[0,2] ব্যবধিতে y=x-1 এবং y=0 রেখা দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের মোট ক্ষেত্রফল কত?

Explanation:

Another Explanation (5): আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়: প্রথমে, y = x - 1 এবং y = 0 রেখা দুটি আঁকি। এই রেখা দুটি x-অক্ষকে (y = 0) x = 1 বিন্দুতে ছেদ করে। এখন, [0, 2] ব্যবধিতে y = x - 1 এর পরম মান বিবেচনা করি, কারণ ক্ষেত্রফল সর্বদা ধনাত্মক হয়। সুতরাং, আমাদের \( |x - 1| \) এর ইন্টিগ্রেশন করতে হবে। \( |x - 1| \) এর সংজ্ঞা অনুসারে, \( |x - 1| = \begin{cases} -(x - 1), & \text{যদি } x < 1 \\ x - 1, & \text{যদি } x \geq 1 \end{cases} \) অতএব, ক্ষেত্রফল হবে: \[ \int_0^2 |x - 1| \, dx = \int_0^1 -(x - 1) \, dx + \int_1^2 (x - 1) \, dx \] প্রথম ইন্টিগ্রাল: \[ \int_0^1 (1 - x) \, dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) - (0 - 0) = \frac{1}{2} \] দ্বিতীয় ইন্টিগ্রাল: \[ \int_1^2 (x - 1) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_1^2 = \left( \frac{4}{2} - 2 \right) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = (2 - 2) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = 0 - \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \] সুতরাং, মোট ক্ষেত্রফল: \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \] অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 1 বর্গ একক।