y2=16x এবং y=4x দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কোনটি?
সঠিক উত্তরঃ
A.
2/3 বর্গএকক
Another Explanation (5):
সমাধান:
সমাধান:
প্রদত্ত রেখাগুলি:
- \( y^2 = 16x \)
- \( y = 4x \)
ধাপ ১: সীমাঃ
প্রথমে, নির্ণয় করব যেখানে রেখাগুলি ছেদ করে।
\( y^2 = 16x \) ও \( y = 4x \) থেকে:
\( y^2 = 16x \)
\( y = 4x \)
প্রতিস্থাপন করি:
\( y^2 = 16 \times \frac{y}{4} \)
=> \( y^2 = 4y \)
=> \( y^2 - 4y = 0 \)
=> \( y(y - 4) = 0 \)
অর্থাৎ, \( y = 0 \) বা \( y = 4 \)।
প্রতিটি ক্ষেত্রে, \( y \) এর মান দিয়ে \( x \) নির্ণয় করি:
ধাপ ২: সীমাঃ
- যখন \( y = 0 \):
\( y = 4x \Rightarrow 0 = 4x \Rightarrow x = 0 \)
- যখন \( y = 4 \):
\( y = 4x \Rightarrow 4 = 4x \Rightarrow x = 1 \)
ধাপ ৩: ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
ক্ষেত্রফল \( A \) হবে দুই রেখার মধ্যে অক্ষাংশে বিভক্ত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।
\( A = \int_{x=0}^{1} \left[\text{উপরে থাকা রেখা } y=4x \text{ থেকে } y= \pm \sqrt{16x}\text{ পর্যন্ত}\right] dx \)
আমাদের ক্ষেত্রটি উপরে \( y = 4x \) ও নিচে \( y = -\sqrt{16x} = -4 \sqrt{x} \) দ্বারা আবদ্ধ। যেহেতু \( y^2 = 16x \), তাহলে নিচের রেখাটি \( y = -4 \sqrt{x} \)।
অতএব, ক্ষেত্রফল:
\( A = \int_{0}^{1} \left[4x - (-4 \sqrt{x})\right] dx = \int_{0}^{1} \left(4x + 4 \sqrt{x}\right) dx \)
\( A = 4 \int_{0}^{1} x dx + 4 \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx \)
প্রথমটি:
\( 4 \times \frac{x^2}{2} \bigg|_{0}^{1} = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \)
দ্বিতীয়টি:
\( 4 \times \frac{2}{3} x^{3/2} \bigg|_{0}^{1} = 4 \times \frac{2}{3} \times 1 = \frac{8}{3} \)
অতএব,
\[
A = 2 + \frac{8}{3} = \frac{6}{3} + \frac{8}{3} = \frac{14}{3}
\]
এখানে, প্রশ্নে উল্লেখিত উত্তর অনুযায়ী, ক্ষেত্রফলটি \( \frac{2}{3} \) বর্গএকক মনে হচ্ছে। সম্ভবত, প্রশ্নে বা উত্তরে ভুল থাকতে পারে। তবে গণনানুযায়ী, ক্ষেত্রফল হল \(\frac{14}{3}\) বর্গএকক।
উপসংহার:
সঠিক ক্ষেত্রফল = \(\frac{14}{3}\) বর্গএকক।